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第五章 根轨迹分析法版本2.02011年6月主编修改版 华南理工大学 自动化科学与工程学院 第五章 根轨迹分析法 5.1 引言 5.2 根轨迹的基本概念 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.4 根轨迹法的扩展应用 5.5 开环零、极点对系统根轨迹的影响 5.6 利用MATLAB分析控制系统的根轨迹 5.7 小结 5.1 引言 5.1 引言 5.2 根轨迹的基本概念 5.2 根轨迹的基本概念 5.2 根轨迹的基本概念 5.2 根轨迹的基本概念 Kg0，系统闭环特征根始终在根平面的左半部，系统总是稳定的。 0Kg4，两个互不相等的负实数，系统阶跃响应为单调上升的非周期过程。 Kg=4，两个相等的负实数，系统阶跃响应为单调上升的非周期过程。 Kg4，两个共轭复根，系统的阶跃响应变为衰减振荡过程，Kg越大，振荡越剧烈。 Kg的取值不同，系统特征根在s平面的分布不同，系统具有不同的动态特性。 5.2 根轨迹的基本概念 5.2 根轨迹的基本概念 5.2 根轨迹的基本概念 注意事项： 幅值条件仅是根轨迹应满足的必要条件，因为幅值还取决于Kg的大小。在根轨迹上的点都满足幅值条件，而s平面上满足幅值条件的点未必在根轨迹上。 相角条件是根轨迹应满足的充要条件，因为相角大小与Kg的大小无关。在根轨迹上的点都满足相角条件，而s平面上满足相角条件的点一定在根轨迹上。 由于绘制根轨迹的目的是通过图上向量计算来进行系统的性能分析，因此s平面的横坐标和纵坐标必须采用相同的比例尺。 通常，直接利用幅值条件和相角条件绘制系统的根轨迹很复杂，可以尝试先画出近似的根轨迹曲线，进行初步分析后，再细化和修正用计算机求解或者绘制出精确的根轨迹。 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 例5-3 考虑例5-2中的开环传递函数 根据规则5可知，闭环系统根轨迹在实轴上的区间为（-?, -4]和[-3, 0]，显然，点s1=-3.5352在实轴上的根轨迹区间之外，故根轨迹分离点必位于点s2=-1.1315处。 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 根据上述绘制根轨迹的基本法则，单回路控制系统根轨迹的绘制一般可按以下七个步骤进行: （1）确定根轨迹的分支数及其起点和终点。 （2）确定实轴上的根轨迹。 （3）确定根轨迹的渐近线与实轴的夹角和交点。 （4）确定根轨迹的分离点和会合点。 （5）确定根轨迹与虚轴的交点。 （6）确定根轨迹的出射角和入射角。 （7）确定根轨迹的走向，并绘制根轨迹。 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.4 根轨迹法的扩展应用 5.4 根轨迹法的扩展应用 5.4 根轨迹法的扩展应用 5.4 根轨迹法的扩展应用 5.4 根轨迹法的扩展应用 5.4 根轨迹法的扩展应用 5.4 根轨迹法的扩展应用 5.4 根轨迹法的扩展应用 5.4 根轨迹法的扩展应用 5.4 根轨迹法的扩展应用 5.4 根轨迹法的扩展应用 规则1 根轨迹的分支数，起点和终点同180度根轨迹。 规则2 由于0度根轨迹相角条件的改变，实轴上的根轨迹在偶数个开环零极点的左侧。 规则3 根轨迹的渐近线与实轴的交点的计算方法同180度根轨迹，而与实轴的夹角的计算公式为 5.4 根轨迹法的扩展应用 5.4 根轨迹法的扩展应用 5.4 根轨迹法的扩展应用 5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响 5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响 5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响 5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响 5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响 5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响 5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响 5.6 利用MATLAB分析控制系统的根轨迹 5.6 利用MATLAB分析控制系统的根轨迹 5.7 小结 （1）根轨迹的基本概念 所谓的根轨迹，就是当控制系统中某参数由零趋向于无穷大变化时，系统的闭环特征根在s平面上移动的轨迹。根轨迹方程是系统闭环特征方程的变形，由其导出的幅值条件和相角条件也分别称为根轨迹的幅值方程和相角方程。相角方程是决定根轨迹的充分必要条件，可依据其来绘制控制系统的根轨迹，幅值方程