[工学]第五章 矩阵的特征值和特征向量.pptVIP

5.1.1 基本概念 四、小结 思考题 思考题解答 5.1.4 相似矩阵 二、相似矩阵与相似变换的性质 四、小结 6.3矩阵可对角化的条件 6.3.1、可对角化条件 6.4 实对称矩阵的对角化 6.4.1、实对称矩阵的特征值与特征向量 利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 三、小结 思考题 思考题解答 四、小结 思考题 思考题解答 于是得正交阵 1.　实对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； 　 (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值． 2.　利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： 　 (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量单位化；(4)最后正交化． 　　　如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似． 推论2 注、该推论的逆不成立 例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解 6.3.3、举例 解之得基础解系 求得基础解系 矩阵之间的相似关系具有如下等价关系 2.相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。 证明 推论 若 阶方阵A与对角阵 利用对角矩阵计算矩阵多项式 k个 　　利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 . 定理 证明 　　１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，相似矩阵的性质 ２．相似变换与相似变换矩阵 　　相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成　　　，而可逆矩阵 称为进行这一变换的 相似变换矩阵． 　　这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算． 6.3.1、可对角化条件 6.3.2、特征向量的线性无关性 6.3.3、举例 证明 命题得证. 说明 　　 如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化． 6.4.1 实对称矩阵特征值与特征向量 6.4.2 实对称矩阵对角化的条件 定理1　实对称矩阵的特征值为实数. 证明 于是有 两式相减，得 定理1的意义 （重根按重数计算） 定理2也可叙述为 证明 于是 证明 它们的重数依次为 　　根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得： 设 的互不相等的特征值为 6.4.2、实对称矩阵对角化的方法 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， 这样的特征向量共可得 个. 故这 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 ，则 　　根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 解特征方程 求出对称阵 的全部不同的特征值。 2. 对每个特征值 ，求出对应的特征向量， 即求齐次线性方程组 的基础解系。 3. 将属于每个 的特征向量先正交化，再单位化。 这样共可得到 个两两正交的单位特征向量 4. 以 为列向量构成正交矩阵 有 即 必须注意：对角阵中 的顺序 要与特征向量 的排列顺序一致。 解 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. (1)第一步 求 的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化 说明 5.1 特征值与特征向量 注：特征向量不惟一 求特征值、特征向量的步骤： 即可求出特征值 ; 把得到的特征值 代入上 式， 求齐次线性方程组 的一个基础 解系 5.1.2 特征值与特征向量的求法 解 例1 例２ 解 例３ 设 求A的特征值与特征向量． 解 得基础解系为： 性质1： 若 的特征值是 ， 是 的对应于 的特征向量，则 的特征值是 是任意常数) 的特征值是 是正整数) 若 可逆，则 的特征值是 的特征值是 且 仍然是矩阵 分别对应于 的特征向量。 5.1.3 特征值和特征向量的性质 例４ 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属