第十一章-20世纪数学概观(I).pptVIP

的任意子集，即由可能的结果事件组成的任意集合，被称为随机事件。并不是所有的随机事件都被考虑，而只考虑一定的事件域(field)．我们知道，概率论只处理那些在某种意义上发生频率稳定的事件．在科尔莫戈罗夫的公理化理论中，对于域中的每一个事件，都有一个确定的非负实数与之对应，这个数就叫做该事件的概率．在这里，概率的定义同样是抽象的，并不涉及频率或其他任何有具体背景的概念． 科尔莫戈罗夫提出了6条公理，整个概率论大厦可以从这6条公理出发建筑起来．科尔莫戈罗夫的公理系逐渐获得了数学家们的普遍承认．由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学分支同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切地联系着． 科尔莫戈罗夫是20世纪最杰出的数学家之一，是俄国十月革命以后成长起来的数学家中的卓越代表．在鲁金之后，科尔莫戈罗夫成为莫斯科数学学派中占突出地位的领头人物．概率论无疑是他科学生涯中最重要的成就，但科尔莫戈罗夫的贡献却远不止于此，还涉及函数论与调和分析、拓扑学、动力系统、微分方程、 泛函分析、射影几何、流体力学、自动控制、信息论、数理统计及数理逻辑等．他关于这些领域的论文大都短小精悍，带有开创或奠基性质。 科尔莫戈罗夫 科尔莫戈罗夫对数学史和数学哲学也表现出浓厚的兴趣并发表过许多脍炙人口的论述．作为出色的教育家，他培养的青年数学家仅成为苏联科学院院士或通信院士的就有6位(包括泛函分析学家H.M.盖尔范德等)． (四)公理化以后的概率论 在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突破． 公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点．随机过程作为随时间变化的偶然量的数学模型，是现代概率论研究的重要主题．一类普遍的随机过程叫做马尔可夫过程，这是一种无后效性随机过程，即在已知当前状态的情况下，过程的未来状态与其过去状态无关．原始形式的马尔可夫过程--马尔可夫链最早由马尔可夫提出(1907)，故名．1931年，科尔莫戈罗夫用分析的方法奠定了马尔可夫过程的理论基础．科尔莫戈罗夫之后，在随机过程研究中作出重大贡献而影响了整个现代概率论的重要代表人物有莱维(1886—1971)、辛钦(1894—1959)、杜布(J.L.Doob)和伊藤清等． 莱维从1938年开始创立研究随机过程的新方法，即着眼于轨道性质的概率方法．1948年出版《随机过程与布朗运动》，提出了独立增量过程的一般理论，并以其为基础极大地推进了对作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究． 自然界中许多随机现象表现出某种平稳性，统计特性不随时间的推移而变化的随机过程叫做平稳过程，平稳过程的相关理论是1934年由辛钦提出的． 另一类有重要意义的随机过程是“鞅”，布朗运动也是其特例．莱维在1935年已有鞅的思想，1939年维尔(J.Ville)引进“鞅”(martingale)这个名称，但鞅论的奠基人是美国概率论学派的代表人物杜布．杜布从1950年开始对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支。 鞅论使随机过程的研究进一步抽象化，不仅丰富了概率论的内容，而且为其他数学分支如调和分析、复变函数、位势理论等提供了有力的工具． 从1942年开始，日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程，不仅开辟了随机过程研究的新道路，而且为一门意义深远的数学新分支--随机分析的创立与发展奠定了基础(见11.3)． 像任何一门公理化的数学分支一样，概率论公理化一旦完成，就允许各种具体的解释．概率论的公理化是将概率概念从频率解释抽象出来，同时又总可以从形式系统再回到现实世界．概率论的应用范围被大大拓广了． 11.3 数学的统一化 20世纪以来，数学的发展也像其他科学一样，一方面不可避免地越来越分化成许多分支，另一方面则存在着相反的趋势，即不同学科相互渗透、结合的趋势．20世纪下半叶，数学科学的这种统一化趋势空前加强．不同分支领域的数学思想与数学方法相互融合，导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起．本节将按统一性的观点对20世纪纯粹数学的部分分支作一扫视．我们将会看到，至少从使用的数学方法而论，数学中不同分支的界限正在变得模糊. (一)微分拓扑与代数拓扑 拓扑学的基本对象是“流形”．流形是通常曲面的推广．如果撇开具体的曲面形象，一个n维流形的抽象定义是指具有下列性质的对象：它从任何一个局部看都很像通常的n维欧几里得空间( )． 如二维球面就是一个二