条件概率与独立性教学幻灯片讲义.ppt

第二章 条件概率与独立性 §2-1条件概率 乘法原理 引子：直到现在，我们计算事件的概率是在样本空间已知的情况下进行的，即除了样本空间（一组固有条件）外得不到其它试验信息。但是，有时知道一个事件H发生了。当陈述与之有关另一事件A的结果时，怎样使用这个信息呢？ ;例1 考虑有两个孩子的家庭，假设男女出生率一样，则两孩子性别（依大小排列）S={(B,B),(B,G),(G,B),(G,G)}且每一个基本事件发生是等可能的。若任选一家庭至少有一个女孩子事件H发生了。求此家庭有一男一女事件A的概率。 解：P(A)= ， P(H)= P(A|H) =;例2．设甲袋中装了4个白球2个黑球，乙袋中装了4个黑球，2个白球。掷一枚质量均匀硬币，若正面朝上（H），便从甲袋中随机取一个球；否则（T）从乙袋中随机地取一球。设E0表示取出黑球事件,若已知H信息条件下，求E0发生的概率。 解：S={HW11,HW12,HW13,HW14,Hb11,Hb12, TW21,TW22,Tb21,Tb22,Tb23,Tb24} ;P(E0)=P{Hb11,Hb12,Tb21,Tb22,Tb23,Tb24}= P(H)= P(HE0)=P{Hb11,Hb12}=2/12 Note：对于 ， 这样才满足古典概型E条件；不难构造反例（只需把例2两袋球对称结构破坏即可！） ;; P(A|B)=L(AB)/L(B)= =P(AB)/P(B) Note：上述古典概型和几何概型例中适用规律在一般情况下不能用纯数学逻辑推导出来，我们需要用此比值P(A|B)作为条件概率定义。（例统计条件概率） 定义1 (P(B)0)设A、B为任意两个事件，且P(B)0，则称比值P(AB)/P(B)为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记为P(A|B) ; 由事件发生的频率概念亦可类似地引出条件频率，从而与第一章方法与思路类似，我们引入概率的三条公理。 定理1，条件概率P(A|B)=P(AB)/P(B) (P(B)0)满足公理1~3 。 (1) 1≥P(A|B)= (2) P(S|B)=P(SB)/P(B)=1 ;;(5) P (6) 若A1 A2则P(A1|B)≤P(A2|B) P((A2－A1)|B))= P(A2|B) － P(A1|B) (7) P(A1∪A2|B) = P(A1|B) + P(A2|B)－P(A1A2|B) 当B=S时 P(A|S)=P(A) 关系：条件概率可当作无条件概率的一般形式，事件概率有条件！ 下面观察公式：P(A|B)= (P(B)0) ;P(AB)=P(B)P(A|B) (P(B)0) P(AB)=P(A)P(B|A) (P(A)0) 具有重要理论与实际意义 定理2（乘法原理）若A，B为两个事件， P(A)0, P(B)0 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (P(A)0) P(AB)=P(B)P(A|B) (P(B)0) ;;证明：;例1、设某袋中有6个白球4个黑球，甲、已、丙三人依次摸一球，求甲、已、丙三人分别摸到黑球的概率。 补充（一般抓阄问题） 解：设A,B,C分别表示甲、已、丙三人摸到黑球。 则 ;Date;例2 甲、乙、丙三人向一飞机射击，设他们命中率分别为0.4,0.5,0,7，又设飞机中一弹被击落概率0.2，中两弹飞机被击落概率为0.6，中三弹飞机必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落A的概率。 解：设Ai表示飞机中i弹(i=0,1,2,3)，Bj(j=1,2,3)分别表示甲、乙、丙三人分别击中飞机事件。;这里有：A　S=A0+A1+A2+A3 A0=;已知P(A|A1)=0.20 P(A|A2)=0.60 P(A|A3)=1 ;例3．设甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球为白球A的概率。 解：设Ai表示从甲袋中取出i个白球事件（i=0,1,2） P(A)=P(A0)P(A|A0)+P(A1)P(A|A1) +P(A2)P(A|A2)=13/25;Date;例4．一盒中装有15只乒乓球，其中9个新球，第一次抽取三只，赛完后放回盒子中；第二次同样任取三只，求第二次取出三球均为新球事件A的概率。 解：设Ai表示第一次取出i个新球事件（i=0,1,2,3） ;Date;§2.3 贝叶公式 1763年一位精通数学和哲学的英国牧师已逝世二周年，其生前朋友普赖斯将他的遗著