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函数探究案例 [教学目标] 一、知识与技能：通过对具体事例的探究，进一步熟悉函数的应用：能从实际中抽象出一个函数，并作解答；初步体会对函数进行综合的分析方法 二、过程与方法：具体事例→函数模型解决，函数问题→具体解决 三、情感态度与价值观：体会数学来源于生活，服务于生活的观点；体会综合问题，可以具体化处理。 [教学难点、重点]案例探究 [教学流程] 一、引入：在实际生活中，只要我们深入调查研究，就发现许多问题可以用数学知识加以解决。 二、案例探究 探究案例一、钢琴曲线 例1、钢琴内部有许多平行弦构成，弦从长到短依次排列，第一根弦长为a,第二根弦长为aq,第三根为aq2,……,后一根与前一根的比都是q。在各弦所在平面内，以第一根弦所在直线为y轴，各弦底端与弦垂直的直线为x轴，建立直角坐标系，将弦的另一端点A1,A2,A3,……,A13用一光滑曲线连接起来，如图： (1)写出这些点(xk,yk)所在曲线的函数关系式 解答：y=aqx-1 (2)能否由一个指数函数的图象经过平移得到(1)中所得函数的图象，如果可以，写出其函数关系式，并说明平移过程 分析解答：要化成一个指数函数，可设a=qc,这样c=logqa,有y=qx+c-1=,它可以看作由y=qx沿x轴平移logqa-1个单位得到 (3)已知弦振动的频率与弦长成反比，而且每隔12个弦，音频变为原来的2倍（即音调提高八度），试求q的值 解答：y1=2y13, a=2aq12q== 说明：通过此例，了解函数图象的描点法作图的实际背景，进一步把握指数与对数的运算 探究案例二、教育储蓄的选择 例2、A、B、C三个家庭各有余款2万元，准备将来为子女上大学用而存入银行教育储蓄，教育储蓄分三年、六年、九年三个等级，有工行和建行两个银行都可以存入，都不计利息税，其年利率与结算方式见下表： 银行 三年期% 六年期% 九年期% 结算方式 工行 2 2.25 3 以单利计息：每年只以本金计利息，即：利息=本金×年利率×年数 建行 1.75 2.25 2.75 以复利计息：每年以前几年的本利和计息 （1）如果A、B、C三个家庭分别计划存三年、六年、九年，试说明：三个家庭各应选存的银行，并求出到时取出的本利和（精确到整数元） 解答：A家庭：y工=2×(1+3×2%)=2.12（万元）=21200元，y建=2×（1+1.75）3=2.1067(万元)≈21067元，所以家庭A选工行，到期本利共21200元 B家庭：y工=2×(1+3×2.25%)=2.135（万元）=21350元，y建=2×（1+2.25）3=2.1381(万元)≈21381元，所以家庭B选建行，到期本利共21381元 C家庭：y工=2×(1+3×3%)=2.18（万元）=21800元，y建=2×（1+2.75）3=2.1696(万元)≈21696元，所以家庭C选工行，到期本利共21696元 (2)如果国家政策调整为：建行教育储蓄统一调整为2%，工行统一调整为2.25%,结算方式不变，存款年限可以为1~9中的任何一年，试说明对存款者而言，在什么情况下在工行、什么情况下在建行存款更有利？ 解答：设本金为a元，经过x年，y建=a(1+2%)x=a1.02x,y工=a(1+2.25%x)=a(1+0.0225x) 作y=1.02x，与y=0.0225x+1的图象,有交点为(0,1)，在正整数集上恒有1.02x0.0225x+1 故选建行 (3)由此探究在a1时，指数函数y=ax与一次函数y=cx+d(c≠0)交点的个数。 （至多两个） 说明，通过此例，体会上学不易的现实，了解函数零点分布的特征与图象的关系。 探究案例三、如何作函数y=x+(k为正常数)的大致图象？ 例3、如何作函数y=x+(k为正常数)的大致图象？ 分析：作一个函数图象，用描点法难于画出时，一般先考虑函数的性质，如：如果奇偶性，可以先画出原点一侧图象，另一侧对称即可；画一侧时，可以先考虑单调性，再考虑它们近似于学过的哪个函数的图象。 (1)判断函数y=x+的奇偶性 解答：定义域为{x|x≠0，x∈R},关于原点对称。而f(-x)=-f(x)所以函数为奇函数 (2)判断函数y=x+在x0上的单调性 解：对于任意x2x10,f(x2)-f(x1)= (x1x2-k), 0,而x22x1x2x12,f(x2)f(x1),∴如果x12≥k,则x1x2-k0, f(x2)f(x1),f(x) ↑,此时x1≥；如果x22k,x1x2-k0,f(x2)f(x1)，f(x) 单调减 ，此时x2.从而，在x0上，函数y=x+的单调增区间是，减区间为 (3)函数f(x)= x+在x0上位置如何？又如何弯曲？ 解：f(x)= x+