[2018年必威体育精装版整理]07前两章测试题题解.pptVIP

习题课 * * * * 一. 填空题 1.若一个n阶行列式D中等于零的元素多于n2 – n个,则D = 2.设 则A1,1 + A1,2 + …+ A1,n = Dn = xA1,1 + a(A1,2 + … + A1,n) = (x – a)A1,1 + a(A1,1 + A1,2 + … + A1,n) = (x – a)Dn -1 + a(A1,1 + A1,2 + … + A1,n) 0 (x – a)n-1 3. 设A为3阶方阵, 且|A| = -2, 则 108 4. 已知A是n阶方阵,且(A – E)2 = 2(A + E)2, 则 A-1 = A2 – 2A + E = 2A2 + 4A + 2E A2 + 6A + E = 0 E = -A2 – 6A E = A(-A – 6E) -A – 6E 二.选择题 x4 2.已知方程组 只有零解, 则 3.设A,B,C为n阶方阵,且满足ABC = E, 则必然有 BCA = E 4. 设A, B分别为m, n阶方阵,且|A| = a, |B| = b, 若 ,则|C| = 三.已知 求A4,1 + A4,2 + A4,3= (A4,1 + A4,2 + A4,3)+ 2(A4,4 + A4,5) = 27 2(A4,1 + A4,2 + A4,3) + (A4,4 + A4,5) = 0 A4,4 + A4,5 = -9 18 四.计算行列式 五. 设 a1, a2, …, an各不相同,证明下列方程组有唯一解,并求解. 六. 设A,B是n阶矩阵,且满足 A2 = A, B2 = B, (A + B)2 = A + B 证明AB = BA, 且AB = O (A + B)2 = A2 + AB + BA + B2 = A + AB + BA + B (A + B)2 = A + B AB = -BA AB = A2B = A(AB) = - A(BA) =-(AB)A =(BA)A = BA2 = BA (A2 = A, B2 = B) 2AB = O AB = O 七. 设n阶方阵A满足A2 + 2A – 3E = O, 证明A, A+2E, A + 4E皆可逆,并求它们的逆. 当A?E时, A + 3E是否可逆?并说明理由. 证明: 首先证明A可逆. 事实上: A(A + 2E) = 3E 再证A + 4E也可逆. 事实上: (A – 2E)(A + 4E) = -5E, 最后由(A + 3E)(A – E) = 0, 以及A ? E 知A+3E不可逆. 八.设方阵A的伴随方阵 且A-1BA = BA + 3E ,求B 解: 在等式两端依次左乘A、右乘以A-1得到： B = AB + 3E, ,再注意到: 故|A| = 2 即 (E – A)B = 3E, 从而： 计算A 计算 (E – A)-1 九. 已知 , 其中B是r?r可逆方阵, C 是s?s可逆方阵, 证明A可逆, 并求它的逆矩阵. 证明: 设 其中Y是r阶方阵,V是s阶方 阵. 解矩阵方程: 由B是可逆方阵, 以及BZ = O, BY = Er, 得到Z = O, Y = B-1 由C是可逆方阵, CV = Es, 得V = C-1 最后,由DY + CU = O, 即CU = - DB-1, 得到: U = -C-1DB-1. 综上所述, A可逆, 并且 第四章习题一选讲 一.2. 已知 线性相关 则t = 3.当k = 时向量 能由 线性表出? *