[理学]第八章矩阵特征值问题的数值解法.pptVIP

矩阵的旋转变换 雅克比方法的一般推广 雅克比方法的一般推广 可证，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元中零 元素的个数增加，但是可以保证非对角元的平方和递减。 雅克比方法的一般推广 上式表面，在旋转变换下，非对角元的平方和严格单调减。 因而对角元的平方和单调增，利用此点，则导出了Jocobi方法。 Jacobi方法的理论基础 雅克比法的理论基础 相似变换的过程中，每一步都选绝对值最大的非对角元素 如果在对A做 定理 例3 雅克比法 例题 雅克比法 例题 雅克比法 例题 雅克比法 例题 QR算法是计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。适用于求实、复非奇异矩阵的特征值，是一种变换迭代法。 理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时，分解是唯一的。 基本QR方法 8.5 QR分解法 = 可证，在一定条件下，基本QR方法产生的矩阵序列｛A(k)｝ 收敛于一个上三角阵（或分块上三角阵）。 基本QR方法 因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵中，主 对角线子块的特征值）即为该矩阵的特征值，故当k充 分大时， A(k)的主对角元（或主对角线子块的特征值） 就可以作为A的特征值的近似。 基本的QR方法的主要运算是对矩阵QR分解，分解的 方法有多种。介绍一种Schmit正交化方法为例。 基本QR方法 河北理工大学 / 河北理工大学 / 河北理工大学 / * 第八章矩阵特征值数值解 在实际问题中，矩阵的模最大特征值往往 起重要作用，例如矩阵的谱半径就是矩阵的模最 大特征值，它决定了迭代矩阵是否收敛。因此矩阵 的模最大特征值比其他特征值的地位更加重要. 幂法就是计算矩阵的模最大特征值及特征向量的数值方法。 反幂法就是计算矩阵的模最小特征值及特征向量的数值方法。 8.1 引言 如何计算矩阵的特征值和特征向量？在线性代数中 （1）计算特征多项式 （3）将所求的特征根逐个代入方组中，所有 引 言 要历经下列步骤： （2）计算特征多项式的根 解的全体组成A的特征向量。 （1）求A的全部特征值、特征向量: Eigensystem[A] （2）求A的特征值： Eigenvaluse[A] （3）求A的特征向量组: Eigenvectors[A] (4) 求A的特征多项式：Det[A-λ*IdentityMatrix[n]] 程 序 A={{1,2,1},{-1,2,1},{0,4,2}}; Print[特征多项式为：] Det[A-λ*IdentityMatrix[3]] Print[特征值为：] Solve[Det[A-λ*IdentityMatrix[3]]==0] Eigenvalues[A]; Print[特征向量为：] Eigenvectors[A] Print[特征值和特征向量为：] Eigensystem[A] 运行结果： 程序运行结果 预备知识： 预备知识 Eigen-value Eigen-vector 预备知识 8.2 幂法运算及程序 幂 方 法 幂 方 法 此式说明了什么？ 当k足够大时,X(k)近似等于主特征向量 解题步骤： 幂方法 此式说明了什么？ 当k充分大时，相邻两次迭代向量对应的非零 分量的比值近似等于主特征值。 幂方法说明 几点说明： 因为计算过程中舍入误差的影响，迭代若干次后，必然 它在u1方向上的分量不为零， 这样，以后的计算就满足所设条件。 会产生一个向量 ， 1）如果 的选取恰恰使得a1＝0，幂法计算仍能进行。 或由初始向量的任意性，选取其它不为零的初始向量。 幂方法说明 用规范幂法求矩阵 的最大特征值?1和对应的特征向量。 解: 取初始向量V0=(0.5,0.5,1.1)T ，根据程序： 例1 运行结果： A={{2,-1,0},{0,2,-1},{0,-1,2}}; v0={0.5,0.5,1.1}; Do[v1=A.v0;Print[k, ,v,k,=,v1, ,v,k,与v,k-1,的第1个分量比值是,v1[[1]]/v0[[1]], ,v,k,与v,k-1,的第2个分量比值是,v1[[2]]/v0[[2]]];v0=v1/Max[Abs[v1]],{k,1,35}] Print[“矩阵A的精确特征值及对应的特征向量为”]；Eigensystem[A] 反幂法就是计算矩阵A的模最小特征值（即求A的逆的最大特征根）及特征向量的数值方法。 8.3 反幂法运算及程序 反幂法及程序 因为 的计算比较麻烦，而且往往不能保证矩阵A 的一些好的性质，如稀疏性