[理学]第六章 微分方程 第五节 常系数线性方程.pptVIP

CH1_ 第五节 常系数线性方程 常系数齐次线性方程通解的求法 常系数非齐次线性方程的通解求法 欧拉方程 一 常系数齐次线性方程通解的求法 二 常系数非齐次线性方程通解的求法 三 欧拉方程 第五节 常系数线性方程 第十二章 微分方程 n阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 其中 为常数。 常系数齐次线性方程 常系数非齐次线性方程 其中 为常数。 二阶常系数齐次线性微分方程: 和它的导数只差常数因子, 代入①得 称②为微分方程①的特征方程, 1. 当 ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根. 时, 2. 当 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: 是特征方程的重根 取 u = x , 因此原方程的通解为 则得 时, 3. 当 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: 因此原方程的通解为 时, 例1 求下列微分方程的通解。 解 (1) 特征方程为 特征根为 微分方程通解为 (2) 特征方程为 特征根为 微分方程通解为 例2 求解微分方程初始值问题 解 特征方程为 特征根为 微分方程通解为 所求解为 若特征方程含k重复根 若特征方程含k重实根r , 则其通解中必含 对应项 特征方程: 推广: 则其通解中必含对应项 例3 的通解. 解: 特征根: 因此原方程通解为 例4 解: 特征根 : 原方程通解: (不难看出, 原方程有特解 特征方程 特征方程: 例5 解: 即 其根为 方程通解 : 特征方程: 例6 为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程, 并求其通解 . 解: 根据给定的特解知特征方程有根 : 因此特征方程为 即 故所求方程为 其通解为 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解 齐次方程通解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法 ? 为实数 , 设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 ? 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 为 m 次多项式 . Q (x) 为 m 次待定系数多项式 1 (2) 若? 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 ? 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式, 故特解形式为 小结 对方程①, 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 即 即 当? 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 例7 写出下列微分方程特解的形式 (1) 解 由于对应的齐次方程的特征方程 的根 所以 不是特征方程 的根， 因此 因此特解形式为 (2) 解 由于对应的齐次方程的特征方程 的根 所以 是特征方程的单根， 此 因此特解形式为 因 (3) 解 由于对应的齐次方程的特征方程 的根 所以 是特征方程的二重根， 此 因此特解形式为 因 (4) 解 对应的特征方程 特征根为 所以 是特征方程的三重根， 此 因此特解形式为 因 例8 求微分方程 的通解。 解 特征方程 特征根 对应的齐次方程通解为 不是特征根， 因此 因此设微分方程特解为 代入原方程得 比较系数可知 因此 原方程通解为 例9 求微分方程 的通解。 解 特征方程 特征根 对应的齐次方程通解为 不是特征根， 因此 因此设微分方程特解为 代入原方程消去 比较系数可知 因此 原方程通解为 得 例10 求微分方程 的通解。 解 特征方程 特征根 对应的齐次方程通解为 是单特征根， 因此 因此设微分方程特解为 代入原方程消去 比较系数可知 因此 原方程通解为 得 例11 求微分方程 的通解。 解 特征方程 特征根 对应的齐次方程通解为 是单特征根， 因此 因此设微分方程特解为 代入原方程消去 所以 得 (1) (2) 求 的特解。 所以 的特解为 原方程通解为 (3) 求 的特解。 不是特征根， 因此 设微分方程特解为 代入原方程得 比较系数得 所以 的特解为 (4) 例12 设 二阶导数连续， 且 曲线积分 与路径 无关， 求 解 由于曲线积分与路径无关， 所以 因此 满足微分方程 特征方程 特征根 对应的齐次方程通解为 设非齐次方程的特解为 代入方程得 因此方程通解为 由于 所以 2 为实数， 分别为l ，n 次多项式。 对非齐次方程 则可设特解: 其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形.