[理学]第七节 Stokes 公式 环流量与旋度.pptVIP

曲线积分与曲面积分 第七节 Stokes 公式：环流量与旋度 Stokes公式（斯托克斯公式） 简单的应用 物理意义：环流量与旋度 小结 练习 例3.? 为柱面 三、物理意义---环流量与旋度 旋度的物理意义： 例5. 设 四、小结 作业 P213 1、(2)(4)(5) 3 * 一、斯托克斯(stokes)公式 斯托克斯公式 是有向曲面 的 正向边界曲线 右手法则 证明 思路 曲面积分 二重积分 曲线积分 1 2 另一种形式 便于记忆形式 若记 Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系. 斯托克斯公式 格林公式 特殊情形 说明 应用: 曲线积分 相应的简单曲 面上的曲面积分 转化 对象： 二、简单的应用 解 根据stokes公式, 有 解 则 即 与平面 y = z 的交线, 从 z轴正向看为顺时针, 计算 2、? 为柱面 与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算 解: 设 S 为平面 z = y 上被 ? 所围椭圆域 , 且取下侧, 利用斯托克斯公式得 平面 S 的法向量 法方向的方向余弦为 平面方程为： 因此 1. 环流量的定义: 利用stokes公式, 有 2. 旋度的定义: 由此得 由中值定理，得 令 S 收缩到点 M ( x,y,z ), 则 向量场 A 产生的旋度 场穿过 S 的通量 注意 S 与 L 的方向选取! 为向量场 A 沿 L的环量 当 与 的同向时， 环量对面积的变化率最大， 最大值 环量对面积变化最快的方向 方向： 模： 环量对面积变化率的最大值 若 则对于空间中任一闭曲线 L, 曲线积分与路径无关. 故有 斯托克斯公式的又一种形式 其中 斯托克斯公式的向量形式 其中 Stokes公式的物理解释: 向量场 A r 沿有向闭曲线 G 的环流量等于向量场 A r 的旋度场通过 G 所张的曲面的通量 .( G 的正 向与 S 的侧符合右手法则 ) 例4. 求电场强度 的旋度 . 解: (除原点外) 这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋. 的外法向量, 计算 解: 更正： 斯托克斯公式的物理意义 斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式 * * * *