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第八章 小波分析理论及应用 八章 小波分析及应用 8.1 引言 把函数分解成一系列简单基函数的表示，无论是在理论上，还是实际应用中都有重 要意义。 1822 年法国数学家傅里叶(J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学 分析”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基 [1] 础 。傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开，使得对信号和系统的研 究归结为对简单的三角函数的研究。傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅 [2] 里叶分析 。傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，理论分析时经常假定周期是2p ， 定义如式(8.1-1)、(8.1-2) 2 ikx f x L 0,2p ，f x c e (8.1-1) k k 1 2p ikx 其中 ck f x e dx (8.1-2) 2p 0 然而，被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说 [3] 明 ：从任一个平方可和的函数f (x ) 出发，为了得到一个连续函数g (x) ，只需或者增大 f(x) 的傅里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。因此，不可能仅根 据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性）。 傅里叶变换的定义如式(8.1-3)、(8.1-4) j wx (8.1-3) F w f x e dx 1 f x F ej wx d w w (8.1-4) 2p 通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数 （如冲击函数）的傅里叶变换的 存在。对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性 质。由式(8.1-3)可知，为了得到F w ，必须有关于f(x) 的过去和未来的所有知识，而且 f(x)在时域局部 的变化会扩散到整个频域，也就是F w 的任意有限区域的信息都不足 以确定任意小区域的 f(x) 。在时域，哈尔(Haar)基是一组具有最好的时域分辨能力的正 交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈尔系的两 个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。研究者们希望寻找关于空间变量 （或时间变量）与 频域变量都同时好的希尔伯特(Hilbert)基，R. Balian 认为：“在通讯理论中，人们对于在 完全给定的时间内，把一个振动信号表示成由其中每一个都拥有足够确定的位置与有一 个频率的小波的叠加这件事感兴趣。事实上，有用的信息常常同时被发射信号的频率与 信号的时间结构 （如音乐）所传递。当把一个信号表达成时间的函数时，其中的频谱表 现并不好；相反地，信号的傅里分析却显示不了信号每一分量发射信号的瞬时与持续时 16