[理学]图论第七章.pptVIP

* 第七章 代数结构预备知识 7.1 集合与映射 定义1 设 和 是给定的两个集合, 如果有一个 规则 ，使对任意一个元素 , 在 中有唯一 的元素 与之对应，则称 是 到 的一个映射。 记作 和 ， 称为 的定义域， 称为 的值域， 称为 的象， 称为 的原像。 例1 设 为一个非空集合。 是 到 的一个映射，称为 上的恒等映射 或单位映射。 定义2 两个映射 ， 当且仅当 ，且对任意 ， 都有 ，称 和 是相等的映射， 记为 。 3. 若 既是单射又是满射, 则称它是 到 的双射。 定义3 设 是 到 的一个映射。 1. 若对任意 , 都有 ， 称 是 到 的单射。 2. 若 ，则称 是 到 的满射。 定义4 设 是三个集合，有两个映射： ，则由 和 可确定一个 到 的映射 , 称 为 与 的合成，记作 ，亦即 映射的合成一般不满足交换律，但满足结合律。 因此 中的恒等映射，则 定理1 设 是 到 的映射， 和 分别是 与 是可逆映射。 定义5 设两个映射 ，若 成立，则称 是左可逆映射， 是 右可逆映射，并称 是 的左逆映射， 是 的 右逆映射。又若 也成立，则称 和 都 定理2 到 的映射 是左可逆的充要条件是 为单射， 是右可逆的充要条件是 为满射。 推论： 是可逆映射, 当且仅当 是双射。 定理3 设 是 到 的映射，且 ， 则 。 7.2 等价关系 当 时, 说 与 没有 关系, 记作 。 定义1 集合 和 的笛卡尔积 的任一子集 称为 与 之间的一个二元关系，它的元素 是有序对 ，记为 ，其中 。 则称 是 上的等价关系。用符号～表示。 定义2 设 是集合上的二元关系，如果 1. 对所有的 , 都有 ，即 具有自反性； 2. 对所有的 , 若 ，则 , 即 具有 对称性； 3. 对所有的 ，若 ，则 ， 即 具有传递性。 其中 是该等价类 的一个代表元。 这样，对任一元素 ，所有与 有关系 的 元素构成一个集合，称之为 的一个等价类， 记作 ，即 ～ 依据等价关系的定义，等价类 具有以下性质： 1. 2. 若 ，则 。 ～ 3. 若 且 ，则 。 ～ ，若非 ，则有 。 定理1 设～是 上的一个等价关系, 对任意元素 定理2 设 是 上由等价关系～确定 的全部等价类，那么 常用记号 表示 , 并称之为 关于～的商集。 等价类的集合, 称为等价类族 记为 ～ 例1 设 是非负整数集合， 是一个 正整数，令 是 中的模 同余关系。则 显然 是等价关系，因此 定理3 集合 的一个划分可以确定 的一个 等价关系。 定理4 设 是 到 的一个满射，则 可以确定 的