[理学]固体物理导论第七章课件.pptVIP

第七章　晶格振动 7.1 一维布拉菲格子的振动 7.2　一维复式格子的振动 7.3　三维晶格振动 7.4　晶格振动量子化 声子 7.1.1 模型与动力学方程 7.1 一维布拉菲格子的振动 考察一维原子链： N个质量为 m 的原子，晶格常数 a，每个原胞一个原子，第 n 个原子平衡位置 Xn0，偏离平衡位置 un，瞬时位置 Xn 表为， Xn0 Xn+10 Xn+20 Xn-10 Xn-20 un un+1 un+2 un-1 un-2 7.1.1 模型与动力学方程 7.1 一维布拉菲格子的振动 Xn0 Xn+10 Xn+20 Xn-10 Xn-20 un un+1 un+2 un-1 un-2 设：m, n 两个原子间的相互作用势能为 ? (Xm-Xn)，第 n 个原子受到晶格中其它原子的作用势能为 7.1.1 模型与动力学方程 7.1 一维布拉菲格子的振动 7.1.1 模型与动力学方程 7.1 一维布拉菲格子的振动 上式第二项是第 n 个原子在平衡位置的受力，应当为零。 7.1.1 模型与动力学方程 7.1 一维布拉菲格子的振动 可见，每个原子动力与其它原子运动 (坐标) 关联。 7.1.2 简谐近似与最近邻近似 7.1 一维布拉菲格子的振动 一个具体物理问题能否作简谐近似，应视结果与实验是否一致而定。有些问题需要考虑高价项的效应----称为：非谐效应。 最近邻近似：只考虑最近邻原子的作用，求和只保留 m=n-1, m=n+1 两项，且认为 ?n+1,n=?n-1,n=?n=?。 7.1.2 简谐近似与最近邻近似 7.1 一维布拉菲格子的振动 在简谐近似与最近邻近似下，一维单原子链振动就被简化为，质量为 m 的小球，用弹性系数为 ? ，的弹簧连接的弹性链。 7.1.3 周期性边界条件 7.1 一维布拉菲格子的振动 动力学方程是一个微分方程。其求解需要边界条件。 实际晶体存在表面原子。表面原子的动力学方程区别于内部原子的动力学方程，这给微分方程求解带来 困难。 采用周期性边界条件如下：设想在有限晶体这外，还有无穷多个完全相同的晶体。 一维晶体的周期性边界条件， un+N=un 采用周期性边界条件的结果，使得晶体中所有原子都服从相同的一个动力学方程。 7.1.4 微分方程的解 7.1 一维布拉菲格子的振动 7.1.4 微分方程的解 7.1 一维布拉菲格子的振动 (1) 格波解 典型的简谐振动波形： 由解可知， 1、每个原子都在平衡位置做谐振动， 2、振幅 A，频率 ? 都相同， 3、相邻原子振动相位差为 qa, 4、相距 ma-na = l?，l为整数，的两个原子，振动状态相同， 5、以上振动形式称为行波。 7.1.4 微分方程的解 7.1 一维布拉菲格子的振动 (2) 色散关系，?(q) 7.1.5 色散关系讨论 7.1 一维布拉菲格子的振动 0 -?/a ?/a q ?(q) 一维单原子链色散关系示意图 (1) 色散关系图解 7.1 一维布拉菲格子的振动 0 -?/a ?/a q ?(q) (2) 色散关系特点 7.1.5 色散关系讨论 7.1 一维布拉菲格子的振动 0 -?/a ?/a q ?(q) 关于相速度和群速度的物理意义。 7.1.5 色散关系讨论 7.1 一维布拉菲格子的振动 0 -?/a ?/a q ?(q) 7.1.5 色散关系讨论 7.1 一维布拉菲格子的振动 7.1.6 波矢 q 的个数，独立振动模式数 7.1 一维布拉菲格子的振动 7.1.6 波矢 q 的个数，独立振动模式数 可见，l 只能取 N 个整数，即，N 个原子组成的一维晶格，格波波矢 q 只能取 N 个不同的值。 确定一组 (?, q)，代表了一种格波，或，一种振动模式。因此，在一维单原子晶格中，共有N个独立的格波，或，N个独立的振动模式。N为晶格原胞数目。 7.2 一维复式格子的振动 7.2.1 模型及动力学方程 考察 N 个原胞的一维晶格，每个原胞中有两个质量为 m 的原子，晶格常数(原胞间距)为 a，原胞中原子间距为 d，d a/2，原子平衡位置分别为 na，na+d。 d a m m n-2 n-1 n+2 n+1 n ?1 ?2 ?2 ?1 ?1 为间距 a-d 两个原子的力常数，?2 为间距 d 的原胞中两个原子的力常数。由于 a-d d，所以就有，?1 ?2。 7.2 一维复式格子的振动 7.2.1 模型及动力学方程 d a m m (n-2)a (n-1)a (n+2)a (n+1)a na ?1 ?2 ?2 ?1 以 u1(na) 表示第 na 原子位移，u2(na) 表示第 na+d 原子位移。同样采用简谐近似和最近