[经济学]导数在经济学的应用.docVIP

第七节 导数在经济学中的应用 本节讨论导数概念在经济学中的两个应用——边际分析和弹性分析. 内容分布图示 ★ 引言 ★ 边际函数 ★ 边际成本 ★ 例1 ★ 边际收入与边际利润 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 函数的弹性 ★ 需求弹性 ★ 例5 ★ 用需求弹性分析总收益的变化 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-7 ★ 返回 内容要点： 一、边际分析 在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量对于另一个经济变量的变化. 平均概念表示在在某一范围内取值的变化. 边际概念表示当的改变量趋于0时，的相应改变量与的比值的变化，即当在某一给定值附近有微小变化时，的瞬时变化. 边际函数： 根据导数的定义, 导数表示在点处的变化率, 在经济学中, 称其为在点处的边际函数值. 边际成本：成本函数(x是产量)的导数称为边际成本函数. 边际收入与边际利润：在估计产品销售量x时, 给产品所定的价格称为价格函数, 可以期望应是x的递减函数. 于是， 收入函数 利润函数 (是成本函数) 收入函数的导数称为边际收入函数; 利润函数的导数称为边际利润函数. 二、 函数弹性 函数弹性的概念：在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率, 经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况, 为此引入下面定义. 定义1 设函数可导, 函数的相对改变量 与自变量的相对改变量之比, 称为函数从x到两点间的弹性(或相对变化率). 而极限 称为函数在点x的弹性(或相对变化率), 记为 注: 函数在点的弹性反映随的变化变化幅度的大小,即对变化反应的强烈程度或灵敏度. 数值上, 表示在点处,当产生1%的改变时, 函数近似地改变%, 在应用问题中解释弹性的具体意义时, 通常略去“近似”二字. 需求弹性：设需求函数, 这里P表示产品的价格. 于是, 可具体定义该产品在价格为P时的需求弹性如下: 当很小时, 有 , 故需求弹性近似地表示在价格为P时, 价格变动1%, 需求量将变化, 通常也略去“近似”二字. 注: 一般地, 需求函数是单调减少函数, 需求量随价格的提高而减少(当时, ), 故需求弹性一般是负值, 它反映产品需求量对价格变动反应的强烈程度(灵敏度). 用需求弹性分析总收益的变化：总收益R是商品价格P与销售量Q的乘积, 即 由 知： (1) 若, 需求变动的幅度小于价格变动的幅度. R递增. 即价格上涨, 总收益增加; 价格下跌, 总收益减少. (2) 若, 需求变动的幅度大于价格变动的幅度., R递减. 即价格上涨, 总收益减少; 价格下跌, 总收益增加. (3) 若, 需求变动的幅度等于价格变动的幅度., R取得最大值. 综上所述, 总收益的变化受需求弹性的制约, 随商品需求弹性的变化而变化, 例题选讲： 边际分析 例1（讲义例1）设每月产量为x吨时, 总成本函数为 (元)， 求最低平均成本和相应产量的边际成本. 例2（讲义例2）设某种产品的需求函数为, 求当需求量时的总收入, 平均收入和边际收入. 例3（讲义例3）设某产品的需求函数为(P是价格, x是需求量), 成本函数为(元). (1) 试求边际利润函数, 并分别求和时的边际利润. (2) 求需求量x为多少时, 其利润最大? 例4（讲义例4）设某厂在一个计算期内产品的产量x与其成本C的关系为 (元), 根据市场调研得知, 每单位该种产品的价格为6元, 且全部能够销售出, 试求使利润最大的产量. 函数弹性 例5（讲义例5）设某种商品的需求量x与价格P的关系为 (1) 求需求弹性; (2) 当商品的价格(元)时, 再增加1%, 求该商品需求量变化情况. 例6（讲义例6）某商品的需求函数为(Q为需求量, P为价格). (1) 求时的边际需求, 并说明其经济意义. (2) 求时的需求弹性, 并说明其经济意义. (3) 当时, 若价格P上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? (4) 当时, 若价格P上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? 例7（讲义例7）糖果厂每周的销售量为Q千袋, 每袋价格为2元, 总成本函数为(元)