高考数学一轮复习课时作业 27（北师大版）含解析.docVIP

课时作业(二十七) 一、选择题 1．ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cos B等于(　　) A. B. C. D. 解析：由已知得b2＝ac，c＝2a， cos B＝＝＝. 答案：B 2．(2012年上海)在ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则ABC的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 解析：由正弦定理可知a2＋b2c2， 从而cos C＝0， C为钝角，故该三角形为钝角三角形． 答案：C 3．(2012年深圳调研)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：因为a＝2bcos C，所以由余弦定理得：a＝2b·，整理得b2＝c2，因此三角形一定是等腰三角形． 答案：C 4．(2011年辽宁)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则＝(　　) A．2 B．2 C. D. 解析：asin Asin B＋bcos2A＝a，由正弦定理可得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，sin B＝sin A，即＝. 答案：D 5．(2012年湖南)在ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC等于(　　) A. B. C．2 D. 解析：·＝||||cos (π－B) ＝2·||(－cos B)＝1，cos B＝－. 又cos B＝＝＝ －， ||2＝3.BC＝||＝. 答案：A 6．(2012年陕西)在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为(　　) A. B. C. D．－ 解析：因为cos C＝＝＝， 又因为a2＋b2＝2c2≥2ab，所以c2≥ab. 所以cos C＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立． 答案：C 二、填空题 7．(2012年湖北)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________. 解析：由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，整理可得，a2＋b2－c2＝－ab，cos C＝＝＝－，C＝. 答案： 8．(2012年福建)已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 解析：设ABC的最小边长为a(m0)，则其余两边长为a,2a，故最大角的余弦值是cos θ＝＝＝－. 答案：－ 9．(2013年长春调研测试)ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，若a2－c2＝2b，且sinB＝6cosA·sinC，则b的值为________． 解析：由正弦定理与余弦定理可知， sinB＝6cosA·sinC可化为b＝6··c，化简可得b2＝3(b2＋c2－a2)，又a2－c2＝2b且b≠0，可计算得b＝3. 答案：3 三、解答题 10．(2013年宁夏育才中学月考)已知ABC的周长为4(＋1)，且sin B＋sin C＝sin A. (1)求边长a的值； (2)若SABC＝3sin A，求cos A的值． 解：(1)根据正弦定理，sin B＋sin C＝sin A可化为b＋c＝a. 联立方程组解得a＝4. (2)S△ABC＝3sin A，bcsin A＝3sin A，bc＝6. 又由(1)可知，b＋c＝4， 由余弦定理得 cos A＝＝＝. 11．(2012年江西)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin －csin ＝a. (1)求证：B－C＝； (2)若a＝，求ABC的面积． 解：(1)证明：由bsin －csin ＝a， 应用正弦定理，得 sin Bsin －sin Csin ＝sin A， sin B－sin C＝， 整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，即sin (B－C)＝1， 由于0B，Cπ，从而B－C＝. (2)B＋C＝π－A＝，因此B＝，C＝， 由a＝，A＝，得b＝＝2sin ，c＝＝2sin ， 所以ABC的面积S＝bcsin A＝sin sin ＝cos sin ＝. 12．(2012年辽宁)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列． (1)求cos B的值； (2)边a，b，c成等比数列，求sin Asin C的值． 解：(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°， 所以cos B＝. (2)解法一：由已知b2＝a