第2章离散傅里叶变换及其快速算法1.pptVIP

第2章 离散傅里叶变换及其快速算法 2.1 引言 2.2 离散傅里叶变换（DFT） 2.2.1周期序列的离散傅里叶级数（DFS） 2.2.2 有限长序列离散傅里叶变换（DFT） 2.3 利用DFT做连续信号的频谱分析 2.4 离散傅里叶变换的快速算法 2.5 FFT的应用 2.2.2 离散傅里叶变换（DFT） 一、DFT的定义 上一节我们讨论的周期序列实际上只有有限个序列值有意义， 因而它和有限长序列有着本质的联系。本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系， 由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示，即离散傅里叶变换（DFT）。 设x(n)为有限长序列，长度为N，即x(n)只在n=0到N-1点上有值，其他n时，x(n)=0。即 二、DFT的矩阵方程表示 IDFT的矩阵方程 由此可见， 循环卷积既可在时域直接计算， 也可以按照下图所示的计算框图， 在频域计算。 由于DFT有快速算法FFT， 当N很大时， 在频域计算的速度快得多， 因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。 （2）线性卷积和循环卷积之间的关系 在实际应用中， 为了分析时域离散线性非移变系统或者对序列进行滤波处理等， 需要计算两个序列的线性卷积， 与计算循环卷积一样， 为了提高运算速度， 也希望用DFT(FFT)计算线性卷积。 而DFT只能直接用来计算循环卷积， 为此导出线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。 假设h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别是N和M。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下： 其中， L≥N+M-1 从式(3)中可以看出, h(n)和x(n)的圆周卷积是两者线性卷积作周期延拓后再取主值区间，前面已经分析过了，对于线性卷积 具有 N+M-1个非零值。 所以，若卷积的周期 ，那么在对 作周期延拓时，必定会发生重叠。因此，只有在 时，才没有混叠现象出现，此时的循环卷积就等于线性卷积。 （3）用DFT计算线性卷积 5、DFT的共轭对称性 （1） 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 为了区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列，下面用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列， 则二者满足如下定义式： 如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样， 任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和， 即 x(n)=xep(n)+xop(n), 0≤n≤N-1 将上式中的n换成N-n， 并取复共轭， 再将上式代入得到 ? x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n) =xep(n)-xop(n) xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］ xop(n)=1/2［x(n)-x*(N-n)］ （2）. DFT的共轭对称性 (1) 如果x(n)=xr(n)+jxi(n) 其中 xr=Re［x(n)］=1/2［x(n)+x*(n)］ jxi(n)=jIm［x(n)］=1/2［x(n)-x*(n)］ 可得 DFT［xr(n)］=1/2DFT［x(n)+x*(n)］ =1/2［X(k)+X*(N-k)］ =Xep(k) 得 DFT［jxi(n)］=1/2DFT［x(n)-x*(n)］ =1/2［X(k)-X*(N-k)］ =Xop(k) 由DFT的线性性质即可得 X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k) 其中 Xep(k)=DFT［xr(n)］ , X(k)的共轭对称分量 Xop(k)=DFT［jxi(n)］ , X(k)的共轭反对称分量 (2)