[工学]第五讲非线性方程模型实验.pptVIP

问题：如下是一则房产广告。不难算出，你向银行共借了25.2万，30年内共要还51.696万，约为当初借款的两倍，这个案例中贷款年利率是多少？ 分析 有人可能会这样算 年利率=(51.696-25.2)/30/25.2=3.5% 错的，因为你并不是等到30年后一次性还款。 设xk—第k个月的欠款数；a—月还款数；r—为月利率，我们得到迭代关系式 xk+1=(1+r)xk-a (2.1) 那么 xk=(1+r)xk-1-a=(1+r)2xk-2-(1+r)a-a=… =… =(1+r)kx0-a[(1+r)k-1]/r 根据a=0.1436,x0=25.2,x360=0得到 25.2(1+r)360-0.1436[(1+r)360-1]/r=0 (2.2) 关于月利率r的高次代数方程。 年利率R=12r. 解方程和方程组的MATLAB命令 roots 求多项式的根 fsolve 方程（组）数值解 fzero 求一元函数实根 solve 符号方程（组）求解 1. 多项式的根 roots(p) 多项式p的所有复根。例 x3+2x2-5的根 roots([1 2 0 -5]) ans = -1.6209 + 1.1826i -1.6209 - 1.1826i 1.2419 2. 一元函数零点 fzero(F,X,tol) F为字符串表示的函数或M函数名； x为标量时，作为迭代初值；X为向量[a,b]时，返回F在[a,b]中的一个零点，这时要求F在a,b两点异号；tol为精度（缺损值1e-4). 例: y=sin(x)-0.1x 3. 非线性方程组求解 fsolve 用法与fzero类似,例：解方程组 写M函数eg2_1fun.m function y=fun(x) y(1)=4*x(1)-x(2)+exp(x(1))/10-1; y(2)=-x(1)+4*x(2)+x(1)^2/8; 或直接用 [x,y,f]=fsolve([4*x(1)-x(2)+exp(x(1))/10-1,-x(1)+4*x(2)+x(1).^2/8],[0,0]) x = 0.2326 0.0565 y = 1.0e-006 * 0.0908 0.1798 f = 1 注意：fsolve采用最小二乘优化法，稳定性比fzero好，但fsolve 可能陷入局部极小。试用fsolve解x2+x+1=0,看会发生什么？不要完全相信计算机。 4.解析求解solve 例 解 ax2+bx+c=0 solve(a*x^2+b*x+c,x) ans = [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))] [x,y]=solve(4*x-y+exp(x)/10=1,-x+4*y+y^2/8=0,x,y) x = .23297580773115396971569236570313 y = .58138324907069742242891748561961e-1 注意所得的解与fsolve的不同。 注意：虽然solve可用于求数值解，但速度很慢，且有很大的局限性，不提倡使用。 数值解法：图解法和迭代法 1. 图解法 例 解方程 sin(x)=0.1x （2.5) 2、迭代法（牛顿法，切线法） 求f(x)=0的解，从几何上说xk+1为用f(x)在xk处的切线代替f(x)求得的解，故也称为切线法。当初值x0与真解足够靠近，Newton迭代法敛。单根快，重根慢。迭代格式： 例 求如下方程的正根（要求精度?=10-6）x2-3x+ex=2 解：令f(x)=x2-3x+ex-2,f(0)=-10,x2, f(x)0,f′(x)0,即f(x)单调上升，根在 [0，2]，先用图解法找初值。 fplot(x^2-3*x+exp(x)-2,[0,2]);grid on; 贷款利率问题求解 考虑方程(2.2). 常识上，r应比当时活期存款月利率略高。用活期存款月利率0.0198/12作为迭代初值，用fzero求解。 （使用Matlab) r