[数学]1-4平面向量的应用.pptVIP

* 一、柯西不等式： 1. 證明： 注意： 2. 範例：設實數 x，y 滿足3x+y =24， 解： 求 9x2+y2 的最小值，及此時的 x，y。 所以 9x2+y2 有最小值 288 ， 所以 x2+y2 有最小值 100， 求 x2+y2 的最小值，及此時的 x，y。 Ans：x=8，y= ?6 時，x2+y2 有最小值100。 解： 馬上練習：設實數 x，y 滿足4x?3y = 50， 解： 3. 範例：設實數 x，y 滿足 4x2+9y2 = 25， 求 8x?9y 的最大值與最小值，及此時的 x，y。 8x?9y 的最大值 25， 8x?9y 的最小值?25， 注意：cos? 與 sin? 滿足 cos2? + sin2? = 1， 馬上練習：設實數 x，y 滿足 x2+4y2 = 8， Ans：x=2，y= ?1，x?2y最大值4；x= ?2，y=1，x?2y最小值?4。 求 x?2y 的最大值與最小值，及此時的 x，y。 解： x?2y 的最小值?4， x?2y 的最大值 4， 4. 範例： 解： 馬上練習： Ans： 解： 5. 範例： 解： 即 a 的最小值為 4。 L P(x1,y1) L ? Q(x2,y2) ? 二、兩直線的交角： 1. 直線的法向量： 證明：設 P(x1, y1)，Q(x2, y2)為 L上相異兩點， L：ax+by+c=0 ? ? A(x0,y0) P(x,y) 證明：設A(x0, y0)為 L上一定點，且P(x,y)為 L上任一點， 注意： 2. 範例：已知直線 L：3x?4y+5=0， 試問下列哪些向量可為 L 的法向量？ 解：直線 L：3x?4y+5=0 的一個法向量可以是 所以 (1) (3) (4) 均可為 L 的法向量。 馬上練習：已知直線 L：2x+3y?5=0， 試問下列哪些向量可為 L 的法向量？ Ans：(2)(3)(4)。 解：直線L：2x+3y?5=0的一個法向量可以是 所以 (2) (3) (4) 均可為 L 的法向量。 L1 ? ? 1800?? ? L2 3. 兩直線的夾角： 說明： ? ?=450，故 L1 與 L2 的交角為 450 或 1350 。 解： 4. 範例： 則直線 L1 與L2 的夾角為 ? 與 1800?? 。 ? ?=300，故所求交角為 300 或 1500 。 馬上練習： Ans： 300 與 1500 。 解： 300 M L 5. 範例： 解：設所求直線 L的斜率為 m 但直線L必有兩解，故另一直線無斜率(鉛直線)， ? L：(y?2)=m(x?1) ? mx?y?m+2=0 夾角為300 的直線方程式。 即 x=1，∵過點(1,2)。 (1,2) ? O A B H 三、正射影(投影)： 1.正射影： 2. 範例： 解： 馬上練習： Ans：正射影為(?2 , 4)， 解： A B C H 3. 範例：?ABC中，A(2,1)，B(6,?1)與C(1,4)， 解： 並求過 C 的高在直線 AB上的垂足坐標。 馬上練習： Ans： 解： O C B A 4. 範例：已知A(a,1)，B(2,b)與C(3,4)為坐標平面上三點， 解： 的正射影相同，則 a 與 b滿足的關係式為何? 而O為原點。 ∵ 正射影相同 ? d P(x0,y0) A(x1,y1) ? L：ax+by+c=0 ? 四、 點到直線的距離： 1. 證明：設 A(x1, y1)為 L上任一點， ? 解： 2. 範例：求點 P(3,?4) 到直線 L：3x?4y+5=0 的距離。 解： Ans：2。 馬上練習：求點 P(2,?1) 到直線 L：12x?5y?3=0 的距離。 3. 範例： 解： 馬上練習：已知 x，y滿足L：3x+4y=15，求 x2+y2 的最小值。 Ans：9。 解：x2+y2 表 L上任一點 (x,y) 到 O(0,0) 的距離平方。 d L1 L2 P(x1,y1) ? 4. 兩平行線的距離： 證明： 5. 範例： 解： Ans： (2)求平行直線L：3x+4y+5=0，且距離為2的直線方程式。 解： 馬上練習： L1 L2 P ? 6. 範例：已知兩直線 L1：2x?y+1=0，與 L2：x?2y+5=0， 解：設點 P(x,y) 為角平分線上任一點。 求兩直線的銳角平分線與鈍角平分線方程式。 (1) 銳角平分線： 此時 P(x,y) 在 L1：2x?y+1=0 的右側 ? 2x?y+10 P(x,y) 在 L2：x?2y+5=0 的左側 ? x?2y+50 故銳角平分線方程式為2x?y+1= ?(x?2y+5) ? x?y+2=0。 (2) 「鈍角」平分線： 此時 Q(x,y) 在 L1：2x?y+1