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⑷三维极端相对论性气体 ⑸二维极端相对论性气体 ⑹一维极端相对论性气体 说明：⑴ ⑵ ⑶ g是与粒子自旋有关的简并因子。 例②某种粒子，可以分辨，许可能级为 ，而且是非简并的，系统有6个分子，求与总能量为3 相联系的分布。并根据公式 ，计算每种分布的微观态数 ，并由此确定各种分布的概率。 解：能级 能量值 简并度 分布数 要满足的条件为 满足上述限制条件的分布可以有 各分布所对应的微观态数 所有分布的微观态总数为 各分布相应的概率为 热力学统计物理 第* 页 * 热力学统计物理 第* 页 * 热力学统计物理 第* 页 * 热力学统计物理 第* 页 * 第六章 小结 一、粒子运动状态的经典描述和量子描述 1经典描述：粒子自由度为 广义动量 构成2r 维相空间（ 2量子描述 空间）。 广义坐标 量子态，一组量子数表征。 二、系统微观状态的经典描述和量子描述 N个近独立全同粒子组成的系统。 1、 经典粒子可以分辨 2、量子描述 可分辨的全同粒子组成的量子系统。 确定系统的微观状态归结为确定每一个粒子的状态。 空间的N个代表点。 由不可分辨的全同粒子组成的量子系统 确定系统的微观状态归结为确定每一个单粒子态中的粒子数。 三、玻耳兹曼统计（经典统计）、玻色统计和费米统计 1玻耳兹曼统计 全同粒子可以区分，处在各单粒子态中的粒子数没有限制。整个系统的微观状态由确定每一个粒子的状态来确定。 不同单粒子态中的一对粒子互换时，导致系统新的微观状态。 2玻色统计 粒子自旋量子数为整数，不可分辨，每一单粒子量子态中的粒子数不受限制， 系统的微观状态由确定每一个 单粒子态中的粒子数确定。 3费米统计 粒子自旋量子数为半奇整数，不可分辨，每一单粒子量子态中的粒子数 不能超过1。系统的微观状态由给定每一单粒子态中的粒子数确定。 四、分布和微观态数 全同近独立系统（孤立系统）N、E、V确定 分布 必须满足 与分布 对应的微观状态数 玻耳兹曼系统 玻色系统 费米系统 排列： 若 个元素相同， 个元素相同， …… 则全排列 组合： 玻色系统和费米系统 （对所有能级） 经典极限条件或非简并性条件。 最概然分布和分布函数 玻耳兹曼等概率原理：对于处在平衡态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。 最概然分布：宏观上出现的概率最大的分布。 出现的概率： 对每个分布求和。 上的平均粒子数 玻耳兹曼分布 玻色分布 费米分布 玻耳兹曼分布 粒子按能级的平均分布 量子态密度 自由粒子，质心平移运动的能量是准连续的， 引入量子态密度（称态密度）概念。 量子态密度：与粒子运动空间的维度性 粒子的能谱 和粒子的自旋有关。 计算方法： 量子力学方法 采用周期性边界条件求解自由粒子的薛定谔方程，得动量的3个 分量的可能值为 三维自由粒子能量的可能值为 以 为直角坐标构成三维量子数数空间（简称数空间）。 在数空间中，以 分割空间交成的每一“点”，数组 代表粒子的一个许可状态。 即粒子的一个许可态对应于数空间中一个“点”。在此数空间中边长为1的小立方体（单位体积）数目与“点”数是相等的，平均地讲，每单位体积包含一个整数点。因此，数空间中一单位体积对应于粒子的一个许可态。 求能量曲面 内的量子态数，只要求出数空间中能量曲面 内的体积就行了。 数空间中能量为 的等能面是半径为 能量曲面 能量间隔 内的量子态数 的球面 内的量子态数为 是态密度。 半经典近似法： 半经典近似指出：自由度为 的粒子，每一可能的状态对应于 空间中大小为 的一个相体积元（相格）。 粒子能量在 内的量子态数= 空间中能量为 和 两个等能面间的相体积 / 能谱关系为 等能面 内的量子态数为 的三维自由粒子， 简便方法： 空间体积元 内的态数= V内 内的量子态数 将能量动量关系 代入得态密度 V内 内的量子态数 例① 一 维气体，粒子的能量动量关系为 （ 为一常数， 为一正整数）， 试证明：粒子的量子态密度 证： n维自由粒子 即 能量曲面 内包含的量子态数为 是 维空间中半径为1的单位球体的“体积”， 内的量子态数 半径为R的 n维球体的“体积”是 用分部积分可以证明 当 为正整数时 或 如 当 为整数时 ⑴三维非相对论