信号处理基础 第三章—Fourier变换.pptVIP

第三章 傅里叶变换 1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析理论” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 泊松和高斯等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 (1)若T 不变，τ变小的情况。 (2)若τ不变，T变大的情况。 频谱搬移技术：将某一频带内的信号移至另一个频带。 例：周期单位冲激序列的傅里叶变换。 三种情况下的抽样 相乘 卷积 时域抽样 频域周期重复 乘 卷 矩形脉冲抽样 在时域内，抽样即是将连续信号某些时刻点数值提取出来，故抽样实现了连续到离散的转换； 在频域内，抽样信号的频谱Fs(?)在以?s为间隔的离散点上重复原信号频谱F(?)，其幅值做相应的变化。 2、频域抽样 相乘 卷积 在频域内，抽样即是将连续频谱某些频率点数值提取出来，故抽样实现了连续到离散的转换； 在时域内，抽样频谱对应的时域信号具有周期性，周期为Ts，每个周期内信号波形与原连续频谱对应的时域波形相似，若周期较小，则可能导致信号波形的混叠。 证明： 例： 证明： 例 例： 例： 例： 证明： E E 法一： 法二： 1 1 1 1 1 1 1 1 3.4 卷积定理 卷积定理分为为时域卷积和频域卷积两个定理 1、时域卷积定理 设有两个时域函数f1(t)，f2(t)的傅里叶变换分别为 则两函数卷积的傅里叶变换为 上式即为时域卷积定理,它表明两信号在时域的卷积积分对应于在频域中两信号的傅里叶变换相乘。 证明： 上式两边进行傅里叶变换，有 交换积分次序 上式中方括弧中的积分就是 的傅里叶变换，即 上式中的积分就是 的傅里叶变换，即 dt e d t f f t f t f t j W - ￥ ￥ - ￥ ￥ - ò ò - = * ] ) ( ) ( [ )] ( ) ( [ 2 1 2 1 t t t F t t t d dt e t f f t f t f t j ò ò ￥ ￥ - ￥ ￥ - W - - = * ] ) ( )[ ( )] ( ) ( [ 2 1 2 1 F t t t d F e f t f t f j ] [ ) ( )] ( ) ( [ 2 1 2 1 W = * ò ￥ ￥ - W - F ) ( ) ( ] [ ] [ )] ( ) ( [ 2 1 1 2 2 1 W W = W W = * F F F F t f t f F 2、频域卷积定理 设有两个时域函数f1(t)，f2(t)的傅立叶变换分别为 则 式中频域卷积为 上式称为频域卷积定理,它表明两信号在时域的相乘对应于在频 域中卷积乘以 上述两个定理的对称形式是由傅立叶变换本身的对称性决定的 例:已知图(a)及(b)为系统冲激响应h(t)及激励e(t)的波形,试利用卷积定理求在e(t)作用下系统的零状态响应r(t)。 解：系统的零状态响应为 1）由图解法可求得r(t) 绘出波形如图(e)所示 k h(k), e(-k) A -τ τ 0 k e(t-k) A τ τ t t- t+ 绘制R(?)波形如图(f)所示。 2）利用时域卷积定理,则有 式中 它们的波形示于图(c) 、(d) 对R(?)作傅立叶反变换即得r(t)，结果与用方法一求出的结果相同。 3.5 周期信号的傅里叶变换 周期信号不能直接用傅里叶变换的公式求其傅里叶变换，但周期信号可以展开成傅里叶级数 表明：周期信号的傅里叶变换是由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率?=n?0(n=0,?1,?2,…)处，且这些冲激函数的强度为对应傅里叶复系数的2?倍。 式中 ，T为周期信号的周期。对上式两边求傅里叶变换得 由频移特性 可得： 例：求周期性矩形脉冲信号f(t)的傅里叶变换 解：f(t)的傅里叶复系数为 f(t) 傅里叶变换为 绘出周期矩形脉冲的傅里叶复系数Fn及傅里叶变换F(?)的图形如下所示 具有相同的包络线,且都为离散频谱 相同点： 不同点： Fn代表各频率分量的幅度，为有限值 F(?)则为频谱密度，是位于n?0处的冲激函数，其强度为2?Fn 可见，周期信号并不满足绝对可积的条件，但在引入冲激函数之后,可计算出周期信号的傅里叶变换。 傅里叶变换与傅里叶级数的关系 从周期性矩形脉冲中截取一个周期,即得单脉冲信号,设为fo(t)，则有 F0(?)是一个随?连续变化的谱线。 周期性矩形脉冲的Fn为离散线条谱,且与连续谱有下列关系 即Fn为F0(?)在各基波倍频处频谱的1/T 3.6 LTI系统的频域分析 信号的傅里叶分析： 1、基本信号ej?t作用下的零状态响应 设LTI系统的单位冲激响应为h(t)，则系统对基本