3.3迭代法.pptVIP

§3.3 迭代法 3.3.1 不动点迭代 一般地，为了求一元非线性方程 (3.3.1) 的根，可以先将其转换为如下的等价形式 (3.3.2) 式中连续函数 称为迭代函数，并使两个方程具有相同的解，然后构造迭代公式。 （3.3.3） 对于给定的初值 ，由（3.3.3）可产生一个迭代序列 如果有 由于 连续，则 则 是（3.3.2）的解，由等价性知 也是(3.3.1)的解。称 为 的不动点，迭代公式(3.3.3) 称为收敛的，并称其为不动点迭代法.由于在(3.3.3)式中， 仅由 决定，因此（3.3.3）式称为单步迭代法。 称为方程根的第 次近似值。 如果迭代序列 的极限不存在，则称迭代公式（3.3.3）是发散的。 因此，在使用迭代法求方程根的近似值时，首先要考虑的问题是：如何选取迭代函数 ，使 迭 代 公 式 收敛。 3.3.2 迭代法的收敛性 为了研究迭代法的收敛性，我们首先介绍迭代法的几何意义，从几何上讲，求方程的 根，即求直线 与曲线 的交点 的横坐标 。如图（3.3.1）。 对于 的某个初始近似值 ，在曲线 上可以确定以 为横坐标的一点 ， 的纵坐标为 ，过点 作 轴的平行线交直线 于 ，过 作 轴的平行线交曲线 于 ，则 的横坐标为 ，如此继续下去，在曲线 上就得点列 其横坐标 ， 由迭代公式 求得，如果点列 越来越逼近交点 ，则迭代法收敛,否则迭代法发散。从图（3.3.1）可以看出，(a)(b)两种情形是收敛的，其共同特点是曲线 走势很缓,即 ，而(c)(d)两种情形发散，其共同特征是曲线 走势很陡，即 ，下面给出迭代(3.3.3)式的收敛性基本定理。 定理3.3.1 （收敛性基本定理）设迭代函数 满足如下条件： （1） 在 内连续，在 内可导。 （2）映内性：对任意的 ，有 。 （3）压缩性：存在一个常数 使得在 内 则： （1）函数 在[a,b]内存在唯一的不动点 （2）对于任意的初始值 由（3.3.3）式产 生的近似值序列 ，并且 （3）有误差不等式 （3.3.4） （3.3.5） 在方程求根的迭代法中，迭代函数 的确定, 至关重要，它直接影响着迭代法的收敛性。但在实 际应用中，同一个方程可以等价导出不同的迭代函 数，而且要严格地利用定理3.3.1的条件判断迭代公 式在整个区间 内收敛（全局收敛）也非常困难, 因此常常判断迭代公式的局部收敛性。 定义3.3.1设 是迭代函数 的不动点,若存 在 的某个领域 ，