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凸函数的性质 【摘自[前苏]克拉斯诺西尔斯基等著《凸函数与奥尔里奇空间》（中译本）】 通常称函数在区间内是“下(上)凸函数”，若对于内任意两点和与任意，都满足“琴生(Jesen)不等式” (※) 或 (※※) [其中和为正数且] 它的特别情形(取)是 (※※※) 在§2-7中曾把它作为下(上)凸函数的定义.。我们将证明，对于连续函数来说，不等式(※※※)与琴生不等式(※)是等价的。正因为这样，我们在教科书中就用简单的不等式(※※※)定义了下(上)凸函数（因为我们研究的函数都是连续函数）。下凸函数简称为凸函数，上凸函数简称为凹函数。请读者注意，这些称呼同国内某些教科书中的称呼是不一致的。但是，我们的上述称呼与新近出版的许多教科书或发表的论文中的称呼是一致的。 因为函数的“上凸”与“下凸”是对偶的，所以，下面只讨论下凸函数的性质。相信读者一定能够把下面得出的结论，类比到上凸函数上。 （一）琴生不等式的几何意义 我们先解释一下琴生不等式的几何意义。如图一， 设，则（根据解析几何中的定比分点公式（*））。根据琴生不等式(※※)， [注意] 从而，得不等式 （基本不等式） 它说明(见图一)，弦的斜率小于弦的斜率，而弦的斜率又小于弦的斜率。 （二）凸函数的性质 为简单起见，下面只讨论与我们的问题有关的凸函数的性质。 性质1 若在区间内是下凸函数，则 ⑴ 在每一点都有左导数和右导数【因此（*），凸函数是连续函数】， 而且； ⑵ 左导数和右导数都是单调增大的函数。 证⑴ 设，并且满足不等式(图二) 根据基本不等式，则有 考虑函数 （） 根据上述不等式中最左边的不等式①，当时，函数是单增的且有上界，所以有极限 = 类似地，根据最右边的②，函数 （） 当时是单减的且有下界，所以有极限 根据中间一个不等式③，＜，再让，得. 证⑵ 为证左、右导数都是单调增大的，譬如证是单调增大的。设，并取正数h足够小，使 （图三） 根据基本不等式， 注意到当时，左端（关于）是单减的，右端是单增的，所以. 再根据上面已证的结论[]，就得到. 假若函数在区间内可微分，根据教科书中的定理2-3，则 导数是增大的函数是下凸的。 现在，我们又证明了“函数是下凸的导数是增大的”[注意，]。因此，对于可微函数来说， 它是下凸的它的导函数是增大的。 根据对偶性，它是上凸的它的导函数是减小的。 性质2 若是区间内的连续函数，则不等式 (※※※) 与琴生不等式 (※) 是等价的。 证 显然，在琴生不等式中取，就是不等式(※※※)。剩下来就是要证明，从不等式(※※※)也可以推出琴生不等式(※)。为简单起见，我们只证明其中的情形“＜”。事实上，(反证法)假若琴生不等式(※)不成立，即至少有一个和有与，使 作(连续)函数 并记它的最大值为，则(根据反证法的假设)。首先假定，并把函数在区间上取到最大值的最大值点的最小者记为，则 (因为)。取正数足够小，使，于是对于点 和 则根据不等式(※※※)，即 可得[注意=] 两端再同时减去，便得到 这是不可能的 ()。 其次，若，根据反证法的假设，则至少有一点使. 重复上面的作法，则得 这也是不可能的。因此，对于一切和任意与，都有，即函数满足琴生不等式 正因为对于连续函数来说，不等式(※※※)与琴生不等式(※)是等价的，所以我们在教科书中就把简单的不等式(※※※)作为下(上)凸函数的定义.。 （*） 区间上的点. （*）有左导数说明函数在点左连续，有右导数说明函数在点右连续。 4 凸函数的性质 3 凸函数的性质 4 3 A B C x1 x3 x2 x 图一 x-h2 x-h1 x x+h1 x+h2 b ( a ) x 图二 x1 x1+h x2-h x2 · · · · x 图三 ① ② ③