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利用题组训练,提高导数复习效果 广东省普宁第二中学(515300) 邱海泉 导数是高等数学的基础，是对函数图像和性质的总结和拓展，是研究函数的单调性、极值、最值，讨论函数图象变化趋势的主要工具。下面谈谈如何利用题组搞好导数法应用复习. 一 用导数法解决函数的单调性问题的训练. 注意着重抓住为增函数（或减函数）。函数 在某个区间上是增函数（或减函数）的训练.如: 例1①、若函数f(x)=kx3+3(k－1)x2－k2+1(k0)的单调递减区间是(0,4)，则k的值是 分析：由解集是，知方程的解为，从而可求得K= ②、若函数f(x)=kx3+3(k－1)x2－k2+1(k0)区间(0,4)上是减函数，求k的取值范围. 分析：由题意知（K0）在（0，4）上恒成立，又由则从而可求出K的取值范围为 例2.若函数f(x)＝x3+x2+mx+1是R上的单调函数，求实数m的取值范围. 分析:由题意知在R上恒成立,由二次函数的图象知抛物线开口向上,与X轴至多仅有一个交点,则△≤0,可求得m的取值范围为. 小结:例题1是在学生的易误点上设置问题,让学生辨别单调区间和减函数的区别,理解特殊与一般的关系,并掌握恒成立问题的转化方法.例题2可作为反馈训练,了解学生的掌握情况. 二、利用导数法解决函数的极值问题的训练. 注意着重抓住函数存在极值的充要条件:一般地,函数在处连续,如果在附近左侧,右侧,那么是极大值（或极小值）. 特别地,是函数在存在极值的必要不充分条件.如: 例3.已知函数 在x=3处有极值，则函数的单调减区间是 分析:由题意知可求出单调减区间为(2,3) . 例4.若函数f(x)＝x3+ax在R上有两个极值点，求实数a的取值范围. 分析:由已知得,由极值存在的充分条件可得 例5.已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是　　 分析:类比例4可求得 三、利用导数的几何意义解决曲线的切线问题的训练. 应抓住函数在点处的导数的几何意义是:曲线上过点处切线的斜率.应特别注意已知点是否在曲线上.如: 例6.曲线y=x3+3x2+6x－10的切线中，斜率最小的切线方程是　 分析:由知当x=-1时,,这时切点为(-1,-14), 可求出切线方程为:3X-Y-11=0 例7.过曲线y=f(x)=x3+x－1上一点P的切线与直线y=4x－7平行，求切线方程. 分析:本题切点P的坐标未知,可先设切点P的坐标为,由,可求出切点为（1,1）或（-1,-3）,从而可求出切线方程为:4x-y-3=0或4x-y+1=0. 四、利用导数研究方程根的问题的训练. 导数可以研究函数的性态,通过把方程根的问题转化为函数性质问题来解决.如: 例8.方程x3－6x2+9x－10=0的实根个数是　　　． 分析:构造函数,把方程实根个数问题转化为函数的零点问题.通过应用导数法可求出,且在区间上是增函数,在区间(1,3)上是减函数.利用函数f(x)的图像,可知函数仅有一个零点.从而方程实根的个数仅有一个. 例9.已知a5，方程x3－ax2+1＝0在区间(0,3)内根的个数是　　　. 分析:类比例题8的方法可求出根的个数为1. 五、综合应用训练,综合提升对导数的熟练应用.如: 例10.已知函数，其中． （I），求的单调区间； （II）在（I）时，函数的图像上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围； （Ⅲ）, 问是否存在实数，使得的与的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由= 当时，有，当变化时，与的变化如下表： 1 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减. （Ⅱ）由已知得，即 又，所以（） ① 设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立， ∴ 解之得 又 所以的取值范围为 （Ⅲ）令，则 因为，要使函数与函数有且仅有2个不同的交点，则函数 的图像与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点 当时，是增函数；当时，是减函数 当时，是增函数∴有极大值有极小值 又因为当充分接近0时，；当充分大时，所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须 即， ∴或 ∴当或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点。 1