利用数形结合思想求最值李翻红.docVIP

利用数形结合思想求最值 商州区夜村中学 ?李翻红 【摘要】：在中学阶段,数形结合思想的应用十分广泛,它作为一种重要的数学思想方法,能很好地把各部分内容联系起来,并贯穿于中学数学的整体思路中.因此在求最值问题时，采用数形结合思想的方法，由形．思数，由数想形，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述有机地结合起来，有利于开阔学生的解题思路，发展其形象思维能力培养学生的逻辑思维,提高学生的解题能力. 【关键词】：?数形结合 ?最值问题? 数形结合是一种重要的数学思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即将代数问题几何化，运用图形的几何性质来解决，或将几何问题代数化，运用代数特征进行运算解决，其方法是以形助数，以数助形，数形渗透，相互作用。其目的是将复杂问题简单化，隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，以便迅速、简捷、合理地解决问题,因此求最值问题时运用数形结合思想不仅直观、易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。所以要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。下面仅举几例说明： 利用两点间距离公式求最值问题。 在一些等式或代数式的题目中，其结构含有明显的几何意义，如含有根号的不等式、代数式，都有明显的几何意义，若能运用数形结合的思想方法，利用两点间距离公式，可以很快解决问题。例如： 例1、求函数y=的最小值. 分析：考察式子特点，从代数的角度求解，学生的思维受阻，这时利用数形结合为转化手段，引导学生探索函数背后的几何背景，巧用两点间距离公式，可化为 ＝ 令A（0，1），B（2，2），P（x，0），则问题转化为在X轴上求一点P，使｜PA｜+｜PB｜有最小值.如图1，由于AB在X轴同侧，故取A关于X轴的对称点， 故（｜PA｜+｜PB｜）min= 二、利用换元法解决含有根号的函数的最值问题。 在一些含有根号的代数式的题目中，其结构没有 明显的几何意义，此时利用两点间距离公式可能做不出来，若能利用换元法，运用数形结合的思想方法，也可以很快解决问题，例如： 例2、 分析：由于函数右端根号内t同为t的一次式，若只做简单换元 无法转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到上面函数右边有两个根号，故可采用两步换元： ， 第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图2） 相切于第一象限时，u取最大值 三、利用复数的模的几何意义求复数的模的最值。 在求解一些关于复数的题目中，经常利用复数的模的几何意义来求解，如： 表示复数z对应的点Z到原点O的距离； 表示复数z和对应的点Z和两点的距离； =1表示单位圆 =表示复数和两点的连线的垂直平分线。 在关于复数的题目中，若能利用复数的模的几何意义来求解，可以达到意想不到的效果，例如： 例3、已知复数z满足，求z的模的最大值、最小值。 分析：由于=，有明显的几何意义，它表示复数z对应的点到复数对应的点之间的距离，因此满足的复数z对应的点Z，在以（2，2）为圆心，半径为的圆上（图3），而表示复数z对应的点Z到原点O的距离，显然，当点Z、圆心C、点O三点共线时，取得最值， ∴复数z的模的最大值为，最小值为。 四、利用斜率公式求函数的值域在一些分子、分母都是三角函数或一次函数的代数式中，要求其值域，很多都转化为经过两点的直线的来求解，例如： 例4、 分析：很明显，函数 （图4）， ， 五、利用及线性规划求值域 例5、已知点P（,y）在线性区域内，求（1）U＝（2）V＝的值域 分析：由线性规划可知P（,y）在直角OAB内（包括边界），实质上是点M（4，3）到直线AB的距离；V的值域实质上是直线PM斜率的取值范围(图5)。 从上面所举的例子中，可以看出：数形结合思想是“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合；应用数形结合思想，就是要充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。 图1 图5