第四章 级数 复变函数课件.pptVIP

由解析函数高阶导数公式,上式可写成 在K内成立, 即 f (z)可在K内用幂级数表达. 这里q与积分变量z无关, 且0?q1. z0 K z r z K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数 M 使| f (z) | ? M. 因此, 下面的公式在K内成立: * 证明泰勒展开式的唯一性 利用逐项积分，唯一性是容易验证的. 注： 1.如果 f (z)在z0解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个奇点a 的距离, 即R=|a-z0|. 2.函果 f (z)在z0处解析的充要条件是f (z) 在 z0的某个邻域内有泰勒展开式 。 * 二、一些初等函数的泰勒展开式 基本方法： 1.直接展开法： 2.间接展开法：借助一些已知函数的展开式, 利用变量替换、逐项微（积）分、幂级数的运算、待定系数法等方法, 得出函数在指定点附件的泰勒展开式 例1.求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于 (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,...) ， 故有 因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+?. 同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式: * * * 例4 求对数函数的主值分支ln(1+z)在z=0处的泰勒展开式. 解： ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|1内展开. * * * §4 洛朗级数 一、洛朗级数 定义1 形如 只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和. 正幂项是一幂级数, 设其收敛半径为 R2： 这是z 的幂级数, 设收敛半径为R： 对负幂项, 如果令z=(z-z0)-1, 就得到： 则当|z-z0|R1时, 即| z |R, 因此, 只有在R1|z-z0|R2的圆环域, 原级数才收敛. z0 R1 R2 例如级数 在收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 上述级数在收敛域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导. 现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成级数形式?. 幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数 其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数: 1 O x y 定理1 (洛朗展开式定理)设 f (z)在圆环域 R1 |z-z0| R2内解析, 则 C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线. 二、环形区域上解析函数的洛朗展开 由柯西积分公式得 R1 R2 z r K1 z R K2 z z0 如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C, 则根据闭路变形原理, 这两个式子可用一个式子来表示: C z0 R1 R2 称为函数f (z)在以z0为中心的圆环域: R1|z-z0|R2内的洛朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为 f (z)在此圆环域内的洛朗级数. 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这个级数就是 f (z)的洛朗级数. 根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛朗级数的展开式. 解： 函数 f (z) 在圆环域 i) 0 |z| 1; ii) 1| z| 2; iii) 2 |z| +? 内是处处解析的, 应把 f (z)在 这些区域内展开成洛朗级数. x y O 1 x y O 1 2 x y O 2 先把 f (z)用部分分式表示: ii) 在1 |z| 2内： iii) 在2|z|+?内: 函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的. 例如在 z=i 和z=-i处展开函数 为洛朗级数。 在复平面内有两个奇点: z=0与z=-i, 分别在以i为中心的圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上. 因此, f (z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个:1)在|z-i|1中的泰勒展开式; 2)在1|z-i|2中的洛朗展开式; 3)在2|z-i|+?中的洛朗展开式; 在复平面内有一个奇点: z=0在以-i为中心的圆周:|z+i|=1上. 因此, f (z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个: