第四章 稳定性与李亚普诺夫方法 现代控制理论 教学课件.pptVIP

第四章 稳定性与李亚普诺夫方法 4-1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 4-2 李亚普诺夫第一法 4-3 李亚普诺夫第二法 4-4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用 4-5 李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用 4-4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用 线性定常系统渐近稳定性判椐 线性时变系统渐近稳定性判据 线性定常离散时间系统渐近稳定判据 线性时变离散系统渐近稳定判据 4-4-1线性定常连续系统渐近稳定判据 4-4-2线性时变连续系统渐近稳定判据 4-4-3线性定常离散时间系统渐近稳定判据 4-4-4线性时变离散系统稳定判据 4-5李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用 雅可比(Jacobian)矩阵法 变量梯度法 4-5-1雅可比（Jacobian）矩阵法 4-5-1雅可比（Jacobian）矩阵法 4-5-2变量梯度法 4-5-2变量梯度法 4-5-2变量梯度法 4-5-2变量梯度法 4-5-2变量梯度法 第四章 稳定性与李亚普诺夫方法 第四章 稳定性与李亚普诺夫方法 3. 矢量的旋度 若旋度为零，即 可得旋度方程 若矢量H的旋度为零，则H的曲线积分与积分路径无关，反之亦然 变量梯度法 设非线性系统 在平衡状态xe=0是渐近稳定的。 假设V(x)为矢量x的标量函数，但不是时间t的显函数，则有 或写成矩阵形式有 根据上式，舒茨和基布逊提出： (1) 先假定▽V为某一形式，譬如一个带待定系数的n维矢量 (3) 由该▽V，通过下列积分导出V(x) 它是对整个状态空间中任意点x=[x1,x2,…,xn]T的线积分 设单位矢量 积分路径是从原点坐标开始，沿着e1到达x1,再由这点沿着e2到达x2,…,最后沿着en到达点x(x1,x2,…,xn) 为了使上述的线积分与积分路径无关，必须保证▽V的旋度为零。这就要求满足n维广义旋度方程 雅可比矩阵 必须是对称的。 如果由上式求得的V(x)是正定的，则平衡状态是渐近稳定的。 例：4-13 试用变量梯度法确定下列非线性系统 的李亚普诺夫函数，并分析平衡状态xe=0的稳定性 解： （1）假设 V(x)的梯度为 （2）计算V(x)的导数 （3）选择参数 若试选a11=a22=1,a12=a21=0,则 显然满足旋度方程 * * ? ? ? 线性定常连续系统的齐次状态方程是 平衡状态xe=0为大范围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正实对称矩阵Q, 必存在正定的实对称矩阵P,满足李亚普诺夫方程 并且 是系统的李亚普诺夫函数 将系统的状态方程式代入，得 式中 证明 为正定的 (1) 通常先选取一个正定矩阵Q,代入李亚普诺夫方程式，解出矩阵P, 然后按希尔维斯特判据判定P的正定性，进而作出系统渐近稳定结论 应用注意 (2) 为了计算方便，通常取Q=I,这时P应满足 (4) 上述判据所确定的条件与矩阵的特征值具有负实部的条件等价，因而判据所给出的条件是充分必要的。 例：4-9 设系统的状态方程为 试分析平衡点的稳定性。 解： 设 解得 根据希尔维斯特判据知。 故矩阵P是正定的，因而系统的平衡点是大范围渐近稳定。 或者由于 是正定的，而 是负定的。也可得出上述结论 线性时变连续系统的齐次状态方程是 平衡状态xe=0为大范围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的连续对称正定矩阵Q(t), 必存在连续对称正定矩阵P(t),满足李亚普诺夫方程 并且 是系统的李亚普诺夫函数 证明 即 设李亚普诺夫函数为 式中P(t)为连续的正定对称矩阵. 取V(x,t)对时间的全导数得 式中 应用注意 是黎卡提(Riccati)矩阵微分方程的特殊情况,其解为 特别地,当取Q(t)=Q=I,则得 线性定常离散系统的齐次状态方程是 平衡状态xe=0为大范围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的连续对称正定矩阵Q, 必存在连续对称正定矩阵P,满足李亚普诺夫方程 并且 是系统的李亚普诺夫函数 证明 设李亚普诺夫函数为 由于V[x(k)]是正定的,根据渐近稳定判据,必要求 为负定的,因此矩阵 必须是正定的 应用注意 (2) P,Q矩阵满足上述条件与矩阵G的特征值的绝对值小于1的 条件完全等价, 因而也是充要的. (3) 为了计算方便，通常取Q=I, 然后验算 所确定的实对称矩阵P是否正定,从而做出稳定性的结论. 例：4-11 设线性离散系统的状态方程为 试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。 解： 设 化简整理得 解得 要使P为正定的实对称阵，必须满足 可见只有当系统的极点落在单位圆内时，系统在平衡点处才是大范围渐近稳定的。 线性时变离散系统的状态方程为 平衡状态xe=0为大范围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的连续对称正定矩阵Q(k), 必存在连续对称正定矩阵P(k+1),满足李亚普诺夫方程 并