第四章 稳定性与李亚普诺夫方法1 现代控制理论 教学课件.pptVIP

第四章 稳定性与李亚普诺夫方法 4-1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 4-2 李亚普诺夫第一法 4-3 李亚普诺夫第二法 4-4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用 4-5 李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用 4-1李亚普诺夫关于稳定性的定义 系统状态的运动及平衡状态 稳定性的几个定义 4-1-1系统状态的运动及平衡状态 4-1-1系统状态的运动及平衡状态 4-1-1系统状态的运动及平衡状态 4-1-1系统状态的运动及平衡状态 4-1-2稳定性的几个定义 4-1-2稳定性的几个定义 4-1-2稳定性的几个定义 4-1-2稳定性的几个定义 4-1-2稳定性的几个定义 4-1-2稳定性的几个定义 4-1-2稳定性的几个定义 4-1-2稳定性的几个定义 4-1-2稳定性的几个定义 4-1-2稳定性的几个定义 4-2李亚普诺夫第一法 线性系统的稳定判据 非线性系统的稳定性 4-2-1 线性系统的稳定判据 4-2-1 线性系统的稳定判据 4-2-2 非线性系统的稳定性 4-3李亚普诺夫第二法 预备知识 几个稳定性判据 对李亚普诺夫函数的讨论 4-3-1 预备知识 4-3-2 几个稳定性判据 希尔维斯特判据 矩阵P(或V(x))定号性的充要条件是 （1）V(x)对所有x都具有连续的一阶偏导数 （2）V(x)是正定的，即当x=0, V(x)=0;x≠0,V(x)0 * * 系统的齐次状态方程是 x----n维状态矢量，显含时间变量t f(x,t)----线性或非线性，定常或时变的n维函数，其展开式为 初始状态 相应的解 平衡状态的定义 设系统的状态方程为： 由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点 平衡状态的求法 线性定常系统： 当A为非奇异，系统存在唯一的一个平衡状态 平衡状态的求法 非线性系统： 系统有三个平衡状态， 范数的概念 范数的定义： n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数,记为 向量的距离： 球域S(?)： 李亚普诺夫意义下的稳定性（稳定和一致稳定性） 定义： 则称平衡状态xe为李亚普诺夫意义下稳定 如果?与t0无关，则称平衡状态xe为一致稳定 李亚普诺夫意义下的稳定性（稳定和一致稳定性） 几何意义： 稳定性 经典理论稳定性定义（渐近稳定性） 定义： 则称平衡状态是渐近稳定的 几何意义： 经典理论稳定性定义（渐近稳定性） 大范围渐近稳定 定义： 大范围渐近稳定 几何意义： 局部 大范围 不稳定性 定义： 则称平衡状态xe是不稳定的 几何意义： 不稳定性 x(t)有界 x(t)有界且 x(t)无界 平衡状态xe=0渐近稳定的充要条件是 矩阵A的所有特征值均具有负实部 状态稳定性 输出稳定的充要条件是其传递函数 输出稳定性 的极点全部位于s的左半平面 例： 设系统的状态空间表达式为 试分析系统的状态稳定性与输出稳定性 解： （1）由A阵的特征方程 （2）由系统的传递函数 可见传递函数的极点s=-1位于s的左半平面，故系统输出稳定 设系统的状态方程为： 将非线性矢量函数f(x,t)在xe的邻域内展开成泰勒级数： （1）如果系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统在平衡状态xe是渐近稳定的，而且系统的稳定性与R(s)无关 （2）如果A的特征值，至少有一个具有正实部，则原非线性系统的平衡状态是不稳定的 （3）如果A的特征值，至少有一个的实部为零，系统处于临界情况，则原非线性系统的稳定性将取决于高阶导数项R(x),而不能由A的特征值的符号来确定 例： 设系统的状态方程为 试分析系统在平衡状态处的稳定性 解： （1）系统有两个平衡状态 （2）在xe1处将其线性化，得 即 因此原非线性系统在xe1处不稳定 （2）在xe2处将其线性化，得 即 其特征值为±j1, 实部为零，系统处于临界情况 标量函数的符号性质 （1）V(x)0,则称V(x)为正定的。 （2）V(x) ≥0,则称V(x)为半正定（或非负定）的。 （3）V(x) 0,则称V(x)为负定的。 （4）V(x) ≤0,则称V(x)为半负定（或非正定）的。 （5）V(x) 0或V(x)0,则称V(x)为不定的。 二次标量函数 二次标量函数 二次函数的标准型 （1）若V(x)正定,则称P为正定, 记作P0 （3）若V(x)为半正定（或非负定），则称P半正定（或非负定）,记作P≥0 。 矩阵P的符号性质 设矩阵P为n×n实对称方阵，V(x)=xTPx为由P所决定的二次型函数 （2）若V(x)负定,则称P为负定, 记作P0 （4）若V(x)为半负定（或非正定），则称P半负定（或非正定）,记作P≤0 。 由上，矩阵P的符号性质与由其所决定的二次型函数V(x)=xTPx 的符号