第四章 二维图形变换 计算机图形技术PPT.pptxVIP

第4章 二维图形变换图形变换的数学基础1基本变换2组合变换3本章知识结构图4.1 数学基础矩阵向量及其性质齐次坐标向量点积矩阵的乘法、转置和逆 4.1.1 向量及其性质。向量的运算有：向量的加减法运算(对一般向量规定加法运算)和向量数乘运算。用u，v，w表示一个向量空间V中的任意三个向量。向量的加法运算具有下列性质。(1) 封闭性:：(2) 交换性：(3) 结合性：向量的加法运算可以用平行四边形法则或者三角形法则来表示。 向量数乘法运算的定义如下：对于任意数和向量u,αu必然是向量空间V中的一个向量。数乘向量的运算满足分配律,如下所示： 如果α是实数，则数乘向量的运算所得的新向量的大小由该实数的绝对值与向量的模相乘得到，方向则与实数的正负有关。如实数为正，不改变向量的方向；否则与原向量的方向相反。其计算如下： 4.1.2 向量点积设有向量 ，有关它们的运算如下所述。 (1) 两个向量之和：(2) 两个向量的点积：(3) 向量的长度：(4) 两个向量的叉积：4.1.3 矩阵设有一个m行n列矩阵A:这个 m行n列的矩阵是mxn个数按一定位置排列的一个整体，简称 mxn矩阵。其中 叫做矩阵的行； 叫做矩阵的列； 为矩阵的第 行第 列元素。通常用大写字母 等表示矩阵。上面这个矩阵可简记为 或 或 。如果 ,则可简称为方阵或m阶矩阵。 4.1.4 矩阵乘法 设矩阵,矩阵 ，则两矩阵的乘积为: 注意:任意两个矩阵，只有在前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数时才能相乘，即4.1.5 矩阵的转置把矩阵 的行、列互换而得到的 矩阵叫做 的转置矩阵，记为 ：矩阵的转置具有如下几点基本性质：(1) (2) (3) (4) 4.1.6 矩阵的逆对于矩阵 ，若存在 ，便得 ,则称 为 的逆矩阵。设 是一个n阶矩阵，如果有n阶矩阵 存在，使得 ，则称 是一个非奇异矩阵，并称 是 的逆。否则，便称 是一个奇异矩阵。由于 ,处于对称地位，故当 非奇异时，其逆 也非奇异，而且 也就是 的逆，即 ,互为逆。 例如：任何非奇异矩阵 都只能有一个逆矩阵. 4.1.7 齐次坐标 齐次坐标是Maxwell. E. A.在1946年从几何的角度提出来的，20世纪60年代被应用到计算机图形学中。其基本思想是把一个 n 维空间的几何问题转换到n+1维空间中去解决。从形式上来说，用一个有n+1个分量的向量去表示一个有n个分量的向量的方法称为齐次坐标表示。齐次坐标表示，其优越性主要有以下两点。(1) 提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。例如：二维齐次坐标变换矩阵的形式为：三维齐次坐标变换矩阵的形式为：(2) 可以表示无穷远点。例如n+1维中，h=0的齐次坐标实际上表示了一个n维的无穷远点。4.2 基本变换二维图形变换的基本变换包括平移、比例和旋转三种变换。平移比例旋转4.2.1 平移变换 平移是一物体从一个位置到另一位置所做的直线移动。如果要把一个位于 的点移到新位置 时，只要在原坐标上加上平移距离Tx及Ty即可(如图所示)，即4.2.2 比例变换 用来改变一物体大小的变换称为比例变换(缩放变换)。如果要对一个多边形进行比例变换，那么可把各顶点的坐标(x，y)均乘以比例因子Sx、Sy，以产生变换后的坐标(， )。 其中，Sx及Sy可以是任意正数，Sx、Sy可以相等或不等。如果比例因子数值小于1，则物体尺寸减小；大于1，则使物体放大；Sx及Sy都等于1，则物体大小形状不变。 需要注意的是，上式表示的比例变换是针对坐标原点的，如下图（a）所示。可以以坐标平面内的任意一点作为基准点，对二维图形施加比例变换，如图(b)所示。比例变换可以表示成以下的矩阵形式：记为:采用齐次坐标技术，可由式(4.4)写出比例变换的矩阵形式：缩写为式中： 是用参数Sx及Sy表示的3×3的比例变换矩阵。4.2.3 旋转变换 物体上的各点绕一固定点沿圆周路径做转动称为旋转变换。我们可用旋转角表示旋转量的大小。 一个点由位置(x、y)旋转到(x‘，y’)的角度为自水平轴算起的角度，? 为旋转角(如右下图所示)。可由三角关系得：相对于坐标原点的旋转变换公式如下：如果令则有记为 需要注意的是，这里讨论的是绕坐标原点所做的旋转变换，实际上可以绕坐标平面中任意点进行图形的旋转变换。旋转变换方程可写为以下矩阵形式：或写为上式中：是含有参数 的3×3的旋转变换矩阵。4.2.4 其他变换 在大多数图形系统中，除了包含有平移、比例及旋转等基本变换。有的还提供另外几种很有用的变换，如反射变换及错切变换等。 1．反射变换 反射是用来产生物体的镜像的一种变换。物体的镜像一般是相对于一个对称轴生成的。 （1）关于x轴的对