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湖南商学院2005年度（线性代数）期末考试试卷1 一、填空题（每小题3分，共15分） 1.行列式_____. 2.已知，是3阶单位矩阵，则 . 3.设齐次线性方程组的基础解系含有2个解向量，则 . 4.设,,则与,均正交的非零单位向量为 . 5.设实二次型为正定二次型，则的取值范围是： 。 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.设为常数，为阶矩阵，则 （　 　） A．| B． C． D． 2.设阶方阵，且，则 ( ). A. B. C. D. 3.设是非齐次线性方程组的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是 （ ） A． B． C． D． 4.设是同阶正交矩阵，则下列命题错误的是 （ ） A．也是正交矩阵 B．也是正交矩阵 C．也是正交矩阵 D．也是正交矩阵 5.为阶实对称矩阵,,,且,则 ( ). A. 1 B. –1 C. 0 D. 2 三、计算题（共64分） 1.(5分)计算行列式 2.(5分) 计算行列式 3.(6分)设实数满足条件＝，求及. 4.(8分)给定矩阵， (1)求；（2）解矩阵方程 5.(8分)给定线性方程组 （1）利用初等行变换将其增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，并表达出线性方程组的一般解； （2）求出该线性方程组的一个特解和其导出组的一个基础解系，表示出线性方程组的全部解。 6.(8分)给定向量组 （1）利用矩阵的初等行变换求该向量组的秩，并求出一个极大线性无关组； （2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。 7.(6分)设向量和都是方阵的属于特征值的特征向量，又向量。求. 8.(10分)已知矩阵的特征值为3，3，12.（1）求的值和的全部特征向量； （2）判断矩阵是否可以对角化，如果可以对角化，试给出可逆矩阵与对角矩阵，使得 9.(8分)给定二次型 （1）将该二次型表示成矩阵形式； （2）将该二次型化成标准形，并求出所对应的可逆线性变换。 四、证明题（本题6分） 已知矩阵可逆，证明线性方程组无解. 《线性代数》统考试卷参考答案 一、填空题（每小题3分，共15分） 1.；2.；3.1；4.；5.。 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.C;2.A;3.D;4.D;5.C 三、计算题（共64分） 1.(2分) （5分） 2. (2分) （5分） 3.(6分)由＝，得 ，(2分) 解得，(4分) 代入得：(6分) 4. 利用初等变换法或者伴随矩阵法： （2分） （5分） （8分） 5.（3分） （5分） 线性方程组的特解：； 导出组的基础解系：（8分） 全部解：。 6. （3分） （1）向量组的秩等于3，极大线性无关组：（6分） （2）；（8分） 7.由于，（1分） （3分） （5分） （6分） 8.（1），所以（2分） 对应于的特征向量分别为： 对应于的特征向量为：（5分） （2）由于A有3个线性无关的特征向量，可以对角化。（6分） 可逆矩阵（8分） 9.二次型的矩阵表示形式：（2分） （3分） （5分） 令：即作可逆线性变换 可将二次型化为标准形：（8分） 四、证明题（本题6分） 证明：若矩阵可逆，则（2分） 线性方程组的系数矩阵的秩等于2（4分） 而它的增广矩阵就是。该线性方程组系数矩阵的秩等于2，增广矩阵的秩等于3。 所以，该方程组无解。（6分） 第1页（共6页） 《线性代数》统考试卷参考答案与评分标准 第3页（共3页）