概率4-1 第一节 数学期望 《概率论与数理统计》 教学课件.ppt

第一节 数学期望 应用 应用1 可见, 并联组成整机的平均寿命比串联 组成整机的平均寿命长11倍之多. 四、数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C; 4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y); （诸Xi相互独立时） 请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立 五、数学期望性质的应用 例8 求二项分布的数学期望 若 X~B(n,p)， 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. 现在我们来求X的数学期望 . 可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是 n p. X~B(n,p), 若设 则 X= X1+X2+…+Xn = np i=1,2，…，n 因为 P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1-p 所以 E(X)= 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. E(Xi)= = p 例9 把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望. 由于 E(Xk)=P(Xk =1) 解: 设巧合个数为X, k=1,2, …,n 则 故 引入 例10 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立) 按题意 本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随 机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求 数学期望的,此方法具有一定的意义. 六、课堂练习 1 某人的一串钥匙上有n把钥匙,其中只有一把能打开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门,若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试开次数的数学期望. 2 设随机变量X的概率密度为 1 解 设试开次数为X, 于是 E(X) 2 解 Y是随机变量X的函数, P(X=k)=1/n, k=1, 2, …, n 据统计65岁的人在10年内正常死亡 解 应用1 的概率为0. 98, 因事故死亡概率为0.02.保险 公司开办老人事故死亡保险, 参加者需交纳 保险费100元.若10 年内因事故死亡公司赔偿 a 元, 应如何定 a , 才能使公司可期望获益; 若有1000人投保, 公司期望总获益多少? 设Xi 表示公司从第 i 个投保者身上所得 的收益, i =1~1000 . 则 Xi ~ 0.98 0.02 100 100 由题设 公司每笔赔偿小于5000元, 能使公司获益. 公司期望总收益为 若公司每笔赔偿3000元, 能使公司期望 总获益40000元. 概率论 概率论 离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习 小结 布置作业 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 . 在这些数字特征中，最常用的是 数学期望、方差、协方差和相关系数 一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入： 我们来看一个引例. 例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？ 我们先观察小张100天的生产情况 若统计100天, 32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品; 可以得到这100天中 每天的平均废品数为 这个数能否作为 X的平均值呢？ （假定小张每天至多出现三件废品 ） 可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品. 可以得到n天中每天的平均废品数为 (假定小张每天至多出三件废品) 一般来说, 若统计n天 , 这是 以频率为权的加权平均 当N很