数学分析 第一学期教案.docVIP

§1 实数 一、实数及其性质 有理数：用分数形式表示，有限十进制小数或无限循环小数 实数 无理数：无限不循环小数 有限无限化：正当时，记 当为正整数时， 对于负的先正再加负号 0=0。0000﹍ 定义两个实数大小的关系： 定义1：给定两个非负实数， 其中为非负整数，为整数 若有 则称 若或存在非负整数，使得而 ，则称。 对于负实数， 定义2：设为非负实数，称有理数 为实数的位不足近似，而有理数为实数的位过剩近似。 对于负实数 注意：不足近似，当n增大时不减。而过剩近似当n增大时不增。 命题：设，则的 例1 设为实数，。证明：存在有理数满足 实数的主要性质： 四则运算是封闭的。 有序的。 大小关系具有传递性。 阿基米德性，即对，若，则 稠密性 数轴 例2：，证明：对于任何正数，有，则。 二、绝对值与不等式 定义：2、几何意义 3、性质 |a|=|-a|≥0 -|a|≤a≤|a| |a|h-hah |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| |ab|=|a||b| |a/b|=|a|/|b| 三、注解 本书记号全称量词：，，从而引入了谓词逻辑，谓词逻辑的三个主要关键难点和要害是：存在性的验证（取出则存在，存在则能够取出），命题的否定（先把命题公式化，然后写出否定表达，然后做出解释），蕴涵关系的公式化（对于任意或者存在逻辑变元，在命题的内层已经确定，内层和外层的区分在于对命题的习惯性或经验性描述）；注 概念的命题性描述。 集合的表示： 正整数集，整数集，有理数集，实数集； 实数域中的符号： ，； 的合理性； 实数域和有理数域； 典型例题（实数的稠密性）：例2设，证明：若有则；反证法 是证明上述命题的逆否命题成立，外层的蕴涵的逆否是结论不成立在前提不成立，前提不成立的逻辑描述是，验证此命题的关键是存在性的验证，通常有三种取法：取ε0=a－b，取ε0=（a－b）/2，取ε0=c－b其中c是取a，b之间的一个实数，共同的本质是实数的稠密性； 作业：1---6 思考题：7---9 §2 数集与确界原理 区间与邻域 　区间：开区间、闭区间、半开半闭区间、无限区间。 　邻域：Ｕ（a；）Ｕ0（a；）Ｕ+（a；）Ｕ-（a；）Ｕ（；） 有界集·确界原理 有界集：设S为R中的一个数集。若存在数M（L），使得对一切，都有，则称S为有上界（下界）的数集数M（L）称为S的一个上界（下界）。若既有上界又有下界，则称有界集，否则为无界集。 注意：区间与界集的关系；界的个数。 例：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。 2、确界 定义：设S是R中的一个数集，若数满足： ⑴ 对于一切，有 ⑵对于任何存在，使得 则称为数集S的上（下）确界，记作 例1：设S={x|x为区间（0，1）中的有理数}，证supS=1，infS=0 例2：E=，（0，1）[0，1] N 注意：唯一性且infS≤supS；确界可能属于S，也可能不属于S 例3：设数集S有上确界。证明 确界原理 定理：设S为非空数集。若S有上（下）界，则必有上（下）确界。 例4：设A、B为非空数集，满足对一切和有。证明A，B有上、下确界且supA≤infB 例5：设A、B为非空有界数集，S=A∪B。证明： supS=max（supA，supB） infS=min（infA，infB） 三、注解 原理是存在性的验证为取到； 上述两个例题的证明可以用概念的两条来证明（用的是谓词逻辑），也可以用上确界是最小上界，下确界是最大上界来证明（用的是命题逻辑），显然用命题逻辑更简单； 问题是命题逻辑虽然简单，但是概念是语言性描述，而不是数学语言描述，而用谓词逻辑虽然是数学语言，却因为是谓词逻辑，因而对于初学者来说接受起来更难一点； 作业：1、2、4、5 思考题：2、6、7、8 §3 函数概念 定义 概念：给定两个数集D和M，若有对应法则，使得D内每一个数，都有唯一的一个数与它相对应，则称是定义在D上的函数，记作： D定义域， 几点说明：1）两个主要因素 2）定义域 3）单值对应（映射） 4）多值对应 函数的表示法：解析法、列表法、图象法 分段函数 sgnx 2、语言描述法 D（x），