数学物理方程第四章_格林函数.pdfVIP

第 4 章 格林函数 在这一章里,我们介绍数学物理方程中另外一种常用的方法—格林函数法.从物理上看, 一个数学物理方程是表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系.例如,热传导 方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源 被分解成很多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同 样边界条件下任意源的场,这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就 叫做格林函数. 4.1 δ 函数 几何学中的点是没有大小的,它仅仅表示空间的一个位置,因此物理学中的质点、点电荷 等点源无法用几何中的点来表示.那么,我们用数学语言如何描述这类具有实际背景的点源 呢? ⎡ l l ⎤ 考虑一根长为l 的直线,其上任一点的坐标x ∈ − , .若总电量为Q 的电荷均匀分布 ⎢⎣ 2 2 ⎦⎥ 在直线上,则直线上的电荷分布的线密度ρ(x) 是 ⎧ l 0, x ⎪⎪ 2 ρ(x) ⎨ (4.1.1) ⎪⎪Q , x ≤ l ⎩l 2 由定积分的性质可知 +∞ Q ∫−∞ρ(x )dx (4.1.2) 若将上述线段无限缩小,或者说令l →0 ,则我们得到了一个物理上常用的点源—点电 荷.此时, 电荷分布密度用ρ (x) 表示, 同时式(4.1.1)变为 0 0, x ≠0 ⎧ ρ0 (x) ⎨ (4.1.3) ∞, x 0 ⎩ 而此时, 电量仍为Q ,则式(4.1.2)仍然成立. 为了理解上的方便,我们修改一下问题的叙述:去电量Q 1,线段长度为2ε,则密度 分布函数为 ⎧ 0, x ε ⎪ δε (x) ⎨ 1 ⎪ , x ≤ε ⎩2ε 且 +∞ ε Q δ (x)dx δ (x)dx 1 ∫−∞ ε ∫−ε ε 由此可见δ (x) 是偶函数,则由积分第一中值定理可得 ε