数学【专题八】数形结合的思想 高考数学复习专题.docVIP

【专题八】数形结合的思想 【考情分析“以形助数”。 巧妙的运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。其思想思维与方法也是高考中重点考察的思维能力之一。 【知识交汇】 1、知识要点概述 数与形是数学中和两个最古老的，也是最基本的对象，是数学中两个最古老、最基本的问题，是数学大厦深处的两块基石，数学的所有问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述.因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义，而形的问题借助数去思考，分析其代数含义，使数量关系和空间形式巧妙机智地结合越来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察.这种处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法. 数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此，它在中学数学中占有重要的地位.在高考中，充分利用选择题、填空题型的特点(这两类题型只须写出结果而无需写出解答过程)，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查学生将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题来解决的意识，解答题中对数形结合思想的考查则以由“形”到“数”的转化为主. 2、解题方法指导 1.转换数与形的三条途径： ①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解. ②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑.如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等. ③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等. 2.运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法： ①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，揭示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性. ②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，揭示出数与式的本质特征. ③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特性，观察图形的的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观及揭示隐含的数量关系. 【思想方法】 一、 利用数形结合解决集合问题 【例1例（1）由，得 ∴b、c所满足的关系式为． （2）由，，可得． 方程，即，可化为， 令，则由题意可得，在上有唯一解， 令，由，可得， 当时，由，可知是增函数； 当时，由，可知是减函数．故当时，取极大值． 由函数的图象可知，当或时，方程有且仅有一个正实数解． 故所求的取值范围是或． （3）由，，可得．由且且且 当时， ；当时，； 当时（），；当时，且； 当时，∪． 评注：函数是贯穿高中数学知识的主要内容，它的地位和作用非常重要，数形结合思想在解决函数问题时尤为重要。函数的图像是表示函数关系的方式之一，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律，形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。利用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的图像来解决代数问题，有利于培养学生的转化联想能力、观察能力，如利用某些函数表达式所具有的特征，与几何中的距离、直线的斜率、线段 的长度（两点间的距离）等联系在一起，构造几何模型解决问题，培养学生思维的深刻性并提高创造性。 3. 数形结合在线性规划中的应用 【例例在区间（1，4（6，+）a的取值范围． 分析 这是一个利用导数研究函数单调性的问题．首先把函数的增、减性转化为导数的正、负来研究．求f（x）f ′（x）x2－ax + a－1x2－ax + a－1（1，4）（6，+）f（x）f ′（x）x2－ax + a－1x2－ax + a－1x = 1和x = a－1f ′（x）x2－ax + a－1a－11时，函数f ′（x）x轴的另一个交点横坐标a－1（1，4）f ′（x）f（x）（1，4）1＜a－14时，函数f ′（x）x轴的另一个交点的横坐标a－1（1，4）f ′（x）f（x）（1，4） （3）当4≤a－16时，函数f ′（x）x轴的另一个交点的横坐标a－1[ 4，6 ]（1，4）f ′（x）（6，+）f ′（x）f（x）（1，4）（6，+）5≤a≤7，满足题意． （4）当a－16时，函数f ′（x）x轴的另一个交点在6的右侧，在区间（6，+）f ′（x）f（x）（6，+）5≤a≤7为所求． 评注 对函数单调性的研究，转化为对导函数正负的研究，实际上就是研究函数值正负的分布．这种研究过程往往没有现成的定理