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第十一讲 参数估计 一 ．总体参数估计的基本原理 根据样本统计量对相应总体参数所作的估计叫作总体参数估计。 总体参数估计分为点估计和区间估计。 由样本的标准差估计总体的标准差即为点估计；而由样本的平均数估计总体平均数的取值范围则为区间估计。 1.良好的点估计量应具备的条件 无偏性 如果一切可能个样本统计量的值与总体参数值偏差的平均值为0，这种统计量就是总体参数的无偏估计量。 有效性 当总体参数不止有一种无偏估计量时，某一种估计量的一切可能样本值的方差小者为有效性高，方差大者为有效性低。 良好的点估计量应具备的条件 一致性 当样本容量无限增大时，估计量的值能越来越接近它所估计的总体参数值，这种估计是总体参数一致性估计量。 充分性 一个容量为n的样本统计量,应能充分地反映全部n个数据所反映的总体的信息。 2.区间估计 以样本统计量的抽样分布（概率分布）为理论依据，按一定概率的要求，由样本统计量的值估计总体参数值的所在范围，称为总体参数的区间估计。 对总体参数值进行区间估计，就是要在一定可靠度上求出总体参数的置信区间的上下限。 置信区间 置信区间，也称置信间距（confidence interval,CI）是指在某一置信度时，总体参数所在的区域距离或区域长度。置信区间是带有置信概率的取值区间。 置信度，即置信概率，是作出某种推断时正确的可能性（概率）。 显著性水平 对总体平均数进行区间估计时，置信概率表示做出正确推断的可能性，但这种估计还是会有犯错误的可能。显著性水平(significance level)就是指估计总体参数落在某一区间时，可能犯错误的概率，用符号α表示。 　　　　　P＝１-α 区间估计的步骤 ⑴要知道与所要估计的参数相对应的样本统计量的值，以及样本统计量的理论分布； ⑵要求出该种统计量的标准误； ⑶要确定在多大的可靠度上对总体参数作估计，再通过某种理论概率分布表，找出与某种可靠度相对应的该分布横轴上记分的临界值，才能计算出总体参数的置信区间的上下限。 ３.平均数区间估计的基本原理 通过样本的平均数估计总体的平均数,首先假定该样本是随机取自一个正态分布的母总体(或非正态总体中的n＞30的样本)，而计算出来的实际平均数是无数容量为n的样本平均数中的一个。 根据样本平均数的分布理论，可以对总体平均数进行估计，并以概率说明其正确的可能性。 二．总体平均数的区间估计 1．总体平均数区间估计的基本步骤 ①．根据样本的数据，计算样本的平均数和标准差； ②．计算平均数抽样分布的标准误； ③．确定置信概率或显著性水平； ④．根据样本平均数的抽样分布确定查何种统计表； ⑤．计算置信区间； ⑥．解释总体平均数的置信区间。 2．平均数区间估计的计算 ①总体正态，σ已知（不管样本容量大小）， 或总体非正态，σ已知，大样本 平均数离差的的抽样分布呈正态，平均数的置信区间为： 例题1：某小学10岁全体女童身高历年来标准差为6.25厘米，现从该校随机抽27名10岁女童，测得平均身高为134.2厘米，试估计该校10岁全体女童平均身高的95％和99％置信区间。 解：10岁女童的身高假定是从正态总体中抽出的随机样本，并已知总体标准差为σ=6.25。无论样本容量大小，一切样本平均数的标准分数呈正态分布。于是可用正态分布来估计该校10岁女童身高总体平均数95％和99％的置信区间。 其标准误为 ②总体正态，σ未知（不管样本容量大小）， 或总体非正态，σ未知，大样本 平均数离差的抽样分布为t分布，平均数的置信区间为： 例题2：从某小学三年级随机抽取12名学生，其阅读能力得分为28，32，36，22，34，30，33，25，31，33，29，26。试估计该校三年级学生阅读能力总体平均数95％和99％的置信区间。 解：12名学生阅读能力的得分假定是从正态总体中抽出的随机样本，而总体标准差σ未知，样本的容量较小（ｎ=1230），在此条件下，样本平均数与总体平均数离差统计量服从呈t分布。 于是需用t分布来估计该校三年级学生阅读能力总体平均数95％和99％的置信区间。 由原始数据计算出样本统计量为 ③总体正态，σ未知，大样本 平均数的抽样分布接近于正态分布，用正态分布代替t分布近似处理： 例题3：从某年高考中随机抽取102份作文试卷，算得平均分数为26，标准差为1.5，试估计全部考生作文成绩95％和99％的置信区间。 解：学生高考分数假定是从正态总体中抽出的随机样本，而总体的标准差σ未知，样本平均数与总体平均数离差统计量呈t分布。但是由于样本容量较大（n=12030），t分布接近于正态分布，因此可用正态分布近似处理。 其标准误为 ④ 总体非正态，小样本 不能进行参数估计，即不能根据样本分布对总体平均数进行估计。 相关系数的区间估计