07年 高等数学(II)竞赛 含答案2.docVIP

五邑大学 试 卷 学期： 2006 至 2007 学年度 第 2 学期 课程： 高等数学(II)竞赛 专业： 姓名： 完整学号： 题号 1~4 5~10 11 12 13 14 15 16 总分 得分 填空题。（每小题4分，总计16分） 1．设函数在点处具有二阶连续导数，且，，，则＝ 。 2．求的导数= 。 3．区域D：，积分＝ . 4．设，且，则＝ . 二、 单项选择题，答案填入下表。（每小题4分，总计24分） 题号 5 6 7 8 9 10 答案 5．设在x＝0处连续，k＝( ) （A）－1 （B）1　　　　（C）－2 （D）2 6．如果函数，则＝( 　　 ) （A） 　（B）　（C） （D） 7．如果，则＝( 　　　　) （A） （B）　（C） （D） 8．若，则＝( ) （A）－1 （B）2y (C) 2(x＋y) (D) 2x 9．设D是由曲线及直线y＝x围成，则＝( ) （A）　（B） （C） （D） 1 10．下列级数中，绝对收敛的是( ) （A） （B） （C） （D） 三、 解答题（每小题10分，总计60分） 11．求二元函数在由直线，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值。 12．过曲线（x≥0）上某点A作一条切线，使之与曲线及x轴围成的图形的面积为，求：(1) 切点A的坐标；(2) 过切点A的切线方程； (3) 由上述图形绕x轴旋转成的旋转体体积V。 13 求极限 14．求的和函数，并计算的和数。 15. 设，而是由方程所确定的函数，其中f，F都具有一阶连续偏导数，求。 16. 设p，q是大于1的常数，且，证明：对于任意x＞0，有。 五邑大学 试 卷 答卷 填空题（每小题4分，总计16分） 1．－1　 2． 3． 4．A－s 二、单项选择题，答案填入下表。（每小题4分，总计24分） 题号 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A A C 三、解答题（每小题10分，总计60分） 11． (1) ， 解联立方程组得驻点（4，0），（2，1） 及所有横坐标x＝0，纵坐标满足0≤y≤6的点。 易知这些驻点中，只有点（2，1）在D的内部， 且A＝＝－6，B＝＝－4，C＝＝－8＜0 ∵ B2－AC＝－32＜0　∴ （2，1）为极大值点，极大值为＝4 (2) 再求z在D的边界上的值 ① 在边界x＝0，0≤y≤6上，z＝0 ② 在边界y＝0，0≤x≤6上，z＝0 ③ 在边界x＋y＝6上，将y＝6－x代入中，有 令得驻点x＝0及x＝4，相应的函数值为， 在区间[0，6]端点处有，比较这些函数值可得 函数在闭区域D上的最大值为＝4，最小值为＝－64 12． (1) 如图，设切点坐标，而，所以切线方程为 令y＝0，得切线与x轴交点为（，0），于是 S= 解得 ，故A的坐标为（1，1）。 (2) 将代入得切线方程为 ，即 (3) 所求旋转体的体积为 V＝ 13 ＝＝ ＝＝ ＝＝ 14 ∵ 　 ∴ 当x≠0时， ＝＝ ＝＝ ∴ 当x＝1时，得＝ 15 用全微分法来求解。 由，即解出 于是 ， 得，故 16 令 ，则， 令，得驻点x＝1 又，所以是在（0，＋∞）内唯一的极值 它也是的最小值。因此，当x＞0时，，即 第 7 页 共 7 页 得分 得分 得分