04非线性回归模型的线性化 高级计量经济学博士生讲义.docVIP

非线性回归模型的线性化 以上介绍了线性回归模型。但有时候变量之间的关系是非线性的。例如 yt = ( 0 + (1+ ut yt = ( 0 + ut 上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现。计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。 另外还有一类非线性回归模型。其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。 ⑴ 指数函数模型 yt = (4.1) b0 和b0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。显然xt和yt的关系是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数，得 Lnyt = Lna + b xt + ut (4.2) 令Lnyt = yt*, Lna = a*, 则 yt* = a* + bxt + ut (4.3) 变量yt* 和xt已变换成为线性关系。其中ut表示随机误差项。 图4.1 yt =, (b 0) 图4.2 yt =, (b 0) ⑵ 对数函数模型 yt = a + b Ln xt + ut (4.4) b0和b0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。xt和yt的关系是非线性的。令xt* = Lnxt, 则 yt = a + b xt* + ut (4.5) 变量yt 和xt* 已变换成为线性关系。 图4.3 yt = a + b Lnxt + ut , (b 0) 图4.4 yt = a + b Lnxt + ut , (b 0) ⑶ 幂函数模型 yt = a xt b (4.6) b取不同值的图形分别见图4.5和4.6。xt和yt的关系是非线性的。对上式等号两侧同取对数，得 Lnyt = Lna + b Lnxt + ut (4.7) 令yt* = Lnyt, a* = Lna, xt* = Lnxt, 则上式表示为 yt* = a* + b xt* + ut (4.8) 变量yt* 和xt* 之间已成线性关系。其中ut表示随机误差项。(4.7) 式也称作全对数模型。 图4.5 yt = a xt b 图4.6 yt = a xt b ⑷ 双曲线函数模型 1/yt = a + b/xt + ut (4.9) 也可写成， yt = 1/ (a + b/xt + ut) (4.10) b0情形的图形见图4.7。xt和yt的关系是非线性的。令yt* = 1/yt, xt* = 1/xt，得 yt* = a + b xt* + ut 已变换为线性回归模型。其中ut表示随机误差项。 图4.7 yt = 1/ (a + b/xt ), (b 0) 图4.8 yt = a + b/xt , (b 0) 双曲线函数还有另一种表达方式， yt = a + b/xt + ut (4.11) b0情形的图形见图4.8。xt和yt的关系是非线性的。令xt