复变函数与积分变换复数及其运算PPT.ppt

五、典 型 例 题 例1、求 z 平面上的下列图形在映射 下的象。 解 (1) 乘法的模与辐角定理 How complex the expression are! 张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 第一章 复数与复变函数 1.1 复数及其几何表示 1.2 复变函数 §1 复数及其几何表示 一、复数的概念 1、产生背景 的数称为复数，其中 称为虚单位， 2、定义：形如 为任意实数,且记 分别称为 的实部与虚部。 二、复数的表示法 1、(复平面上的)点表示 ------用坐标平面上的点 r θ 此时的坐标面（称为复平面）与直角坐标平面的区别与联系。 2、(复平面上的)向量表示----- （1）模—— 的长度 ，记为 ，则 （2）辐角( )—— 与 轴正向的夹角 (周期性) 辐角主值: 注 三、复数的运算 1、相等——两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。 2、和、差、积、商（分母不为0）——代数式、三角式、指数式 3、共轭复数及运算性质 z z y x o 四、复数的n次方根 的n个值恰为以原点为中心， 的内接正 边形的顶点，当 时， 为半径的圆周 称为主值。 答疑解惑 答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而复数是无序的，所以不能比较大小。 假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持一致，（因为实数是复数的特例），不妨取0和i加以讨论： 1、复数能否比较大小，为什么？ 注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可比较大小。 2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的 运算是否相同？ 答：有相同之处，但也有不同之处。 加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何意义不同。 典型例题 例1、判断下列命题是否正确？ （1） （2） （3） （ × ） （ ∨ ） （ × ） 例2、求下列复数的模与辐角 （1） （2） （3） （4） 解（1） （2） （3） (4) 例3、求满足下列条件的复数z： （1） （3） （2） 且 例4 求方程 的根。并将 分解因式。 解 ∵ ， 则 的其余三个根即为所求 得 由 §2 复变函数 一、复平面上的曲线方程 平面曲线有直角坐标方程 和参数方程 两种形式。 由 代入 知 曲线C的方程可改写成复数形式 若令 ，而 ，则 曲线C的参数方程等价于复数形式 。 二、简单曲线与光滑曲线 三、区域 1、去心邻域 3、区域及分类 2、内点与开集 区域——连通的开集。 属于D内的任一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而收缩成一点。 注：①闭区域 ，它不是区域。 ②任意一条简单闭曲线 C把复平面分为三个不相交的点集：有界区域称为 C的内部；无界区域，称为 C的外部； C，称为内部与外部的边界。 四、复变函数的概念 1、定义 ——对于集合G中给定的 ，总有一个（或几个）确定的复数 与之对应，并称G为定义集合，而 称为函数值集合(值域). 分类—— 2、复变函数 与实函数的关系 讨论一个复变函数 研究两个实二元函数 3、复变函数的单值性讨论 是否为单值函数？ 令 则 均为单值的实二元函数 是单值函数。 故 是单值函数吗？ ，均为多值的实二元函数 4. 映射 复变函数的几何图形表示 函数在几何上可以看着是把 z 平面上的一个点集 G （定义域）变到 w 平面上的一个点集 G *（值域）的一个映射（或映照）。 与 G 中的点为一一对应 映射为双射 张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform