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张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform §2 复变函数 一、复平面上的曲线方程 平面曲线有直角坐标方程 和参数方程 两种形式。 由 代入 知 曲线C的方程可改写成复数形式 若令 ，而 ，则 曲线C的参数方程等价于复数形式 。 二、简单曲线与光滑曲线 三、区域 1、去心邻域 3、区域及分类 2、内点与开集 区域——连通的开集。 属于D内的任一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而收缩成一点。 注：①闭区域 ，它不是区域。 ②任意一条简单闭曲线 C把复平面分为三个不相交的点集：有界区域称为 C的内部；无界区域，称为 C的外部； C，称为内部与外部的边界。 是否为单值函数？ 令 则 均为单值的实二元函数 是单值函数。 故 是单值函数吗？ ，均为多值的实二元函数 4. 映射 复变函数的几何图形表示 函数在几何上可以看着是把 z 平面上的一个点集 G （定义域）变到 w 平面上的一个点集 G *（值域）的一个映射（或映照）。 与 G 中的点为一一对应 映射为双射 五、典 型 例 题 例1、求 z 平面上的下列图形在映射 下的象。 解 (1) 乘法的模与辐角定理 How complex the expression are! u v 4i 图a 虚轴上从点0到4i的一段（见图a ）。 (1)记 ，则 即w平面内 4 图b (3) 自己解决。 映为 （4） 将直线 建立 所满足的象曲线方程 ，消 ， 是以原点为焦点，开口向左的抛物线（见图c1) v u 图c 1 2 其是以原点为焦点，开口向右的抛物线（见图c2）。 将 线 映为 ，消 x 得 例2、 求下列曲线在映射 下的象 解法一（1） 消 x, y 建立 u, v 所满足的象曲线方程或由两个实二元函数反解解得 x=x (u, v), y=y (u, v）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程 （2） 代入原象曲线方程，得 w平面内的一条直线。 解法二 代入原象方程得 化为实方程形式 （2）留作练习。 六、 复变函数的极限 1. 复变函数的极限的定义 七、 复变函数的连续性 张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform