高二数学课件：必修2-1 第三章 3.4直线与平面的垂直关系.ppt

用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 (1)线线平行 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线线垂直 证明两条直线平行，只需证明两直线的方向向量垂直，即a⊥b?a·b＝0. (3)线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量， ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量． (4)线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． [练习]　如下图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2E1B，BF＝2FA1. (1)求证：直线EF∥AC1； (2)若EF是两异面直线B1D1，A1B的公垂线，求证：该长方体为正方体． 化简，得a2＝b2＝c2，∴a＝b＝c. 所以该长方体为正方体． * a A P o α 3.4 直线与平面的垂直关系 3.4 直线与平面的垂直关系 复习： 什么叫平面的斜线、垂线、射影？ 如果a α, a⊥AO， 思考a与PO的位置关 系如何？ a A P o α PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO 是PO在平面α内的射 影. 性质定理 判定定理 性质定理 线面垂直 ① 线线垂直 ② 线面垂直 ③ 线线垂直 PO 平面PAO a⊥PO ③ 答：a⊥PO 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 为什么呢？ PA⊥α a α ① PA⊥a AO⊥a ② a⊥平面PAO P a A o α 直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。 P A O a α 例如：当 b⊥? 时， b⊥OA 如果将定理“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？ b 但 b不垂直于OP 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 练习： 1、判定下列命题是否正确 (1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面 α内的射影，则a⊥b。 ( ) 2°定理的关键找“平面”这个参照物。 强调：1°四线是相对同一个平面而言 (2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线， 且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。 ( ) × × 1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射 影)、a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交，也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。 说明： 例1 直接利用三垂线定理证明下列各题： (1) 已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (3) 已知：在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1 (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM A D C B A1 D1 B1 C1 (1) (2) B P M C A (3) P O A B C D (1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD P O A B C D 证明: ∵ABCD为正方形 O为BD的中点 ∴ AO⊥BD 同理，AC⊥BD AC是PC在ABCD上的射影 ? ∴ PC⊥BD PO⊥BD ∴ AO是PO在平面ABCD上的射影 ∴ PA⊥平面ABCD ∵ BD 平面ABCD 又 P M C A B (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC， M是BC的中点， 求证：BC⊥AM 证明: PM ⊥BC ∴ BC⊥AM ∴ PM是AM在平面PBC上的射影 ∴ PA⊥平面PBC ∵ PB=PC M是BC的中点 ∵ BC 平面PBC 又 (3) 在正方体AC1中， 求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥