微分方程课件section5定积分的几何应用举例.pptVIP

第5节 一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ? 第5节 5.1平面图形的面积 例1. 计算两条抛物线 例2. 计算抛物线 例3. 求椭圆 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 例4. 求由摆线 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。 2. 极坐标（polar coordinates）情形 例5. 计算阿基米德螺线 例6. 计算心形线 心形线(外摆线的一种) 例7. 计算心形线 例8. 求双纽线 5.3 平面曲线的弧长 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: (2) 曲线弧由参数方程给出: (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 例10. 求连续曲线段 例11. 计算摆线 例12. 求阿基米德螺线 5.2 已知平行截面面积函数的立体体积 特别 , 当考虑连续曲线段 例13. 计算由椭圆 方法2 利用椭圆参数方程 例14. 计算摆线 绕 y 轴旋转而成的体积为 注 说明: 例15. 设 例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 例17. 计算由曲面 例18. 求曲线 四、旋转体的侧面积 (补充) 注意: 例19. 计算圆 例20. 求由星形线 星形线 内容小结 3. 已知平行截面面面积函数的立体体积 思考与练习 2. 试用定积分求圆 方法2 用柱壳法 求侧面积 : 备用题 2. 4. 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 则 (利用对称性) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的一拱与 y＝0 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解: 绕 x 轴旋转而成的体积为 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意上下限 ! 注 注 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分 (利用“偶倍奇零”) 柱壳体积 柱面面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偶函数 奇函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 x≥0 时为连续的非负函数, 且 形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明: 证: 利用柱壳法 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 并 与底面交成 ? 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直 x 轴的截面是椭圆 所围立体(椭球体) 解: 它的面积为 因此椭球体体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的体积. 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. (94 考研) 解: 利用对称性 , 故旋转体体积为 在第一象限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设平面光滑曲线 求 积分后得旋转体的侧面积 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 . 取侧面积元素: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 侧面积元素 的线性主部 . 若光滑曲线由参数方程 给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 不是薄片侧面积△S 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 侧面积为 x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解: 对曲线弧 应用公式得 当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一周所得的旋转体的表面积 S . 解: 利用对称性 绕 x 轴旋转 星形线 目录 上页 下页 返回 结束 星形线是内摆线的一种. 点击图片任意处 播放开始或暂停 大圆半径 R＝a 小圆半径 参数的几何意义 (当小圆在圆内沿圆周滚动 时, 小圆