微分方程一阶微分方程.pptVIP

2002年考研数学二, 7分 求微分方程 的一个解 与直线 以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的所围 成的旋转体体积最小. 使得由曲线 解 一阶微分方程 原方程可化为 则 一阶线性方程 形如 的方程, 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 需经过变量代换化为线性微分方程. 解法 称为 一阶微分方程 伯努利(Bernoulli)方程. 事实上, 用 除方程的两边,得 雅个布· 伯努利 (瑞士) 1654-1705 三、伯努利(Bernoulli)方程 即 可见只要作变换, 方程就可化为z 的一阶线性方程 伯努利方程的通解 令 一阶微分方程 解 例 伯努利方程 作变换 则方程化为 即 它的通解为 故原方程的通解为 一阶微分方程 熟悉求解方法后,也可以不引入新变量, 注 例 解方程 解 这不是线性方程, 但若把 y视为自变量, 两边除以 一阶微分方程 n=2的伯努利方程. 也不是伯努利方程. 方程写为: 而直接按上述方法求解. 即 即 一阶微分方程 分析 这不是前面的典型类型中的任何一种, 可仿照伯努利方程的解法, 可化为线性方程 解 则 上式成为 即 线性方程 一阶微分方程 例 两边, 得 从而 于是得 即 一阶微分方程 四、利用变量代换求解方程 下面用变量代换的方法来简化求解微分方程. 如果一阶微分方程可以写成 齐次方程. 即 得到 u 满足的方程 即 的形式, 作变量代换 代入 变量代换在数学的各个方面都是极重要的, 极限运算和积分运算中已看到了变换的作用. 则称之为 一阶微分方程 1. 齐次型方程 可分离变量的方程 分离变量 两边积分, 求出通解后, 就得到原方程的通解. 一阶微分方程 例 解方程 解 将方程写为 齐次方程 方程变为 即 积分得 可分离变量方程 一阶微分方程 例 探照灯反射镜的设计. 一阶微分方程 在xOy平面上有一曲线L,曲线L绕x轴旋转一周, 形成一旋转曲面. 假设由O点发出的光线经此旋转 曲面形状的凹镜反射后都与x轴平行(探照灯内的 凹镜就是这样的), 求曲线L的方程. 解 如图, 设 O点发出的某条 光线经L上一点M (x, y)反射 后是一条与x轴平行的直线MS. 又设过点M的切线AT 与x轴的倾角是 由题意, 一阶微分方程 另一方面, 是入射角的余角, 是反射角的余角, 于是由光学中的反射定律 有 从而 但 而 于是得微分方程 即 入射角 = 反射角 齐次方程 一阶微分方程 为方便求解, 视y为自变量, x为未知函数, 则 有 代入上式得 由曲线L的对称性, 不妨设y 0,上式为 化简得 分离变量 可分离变量的方程 两边积分 一阶微分方程 得 即 由上式可得 即 以 代入上式,得 这就是曲线L的方程,它是以x轴为对称轴,焦点在原点的抛物线. 分析 解 令 方程变为 齐次方程 可分离变量方程 一阶微分方程 两边积分 即 得通解 分离变量 一阶微分方程 解 令 则 代入方程, 积分得 分离变量,得 因方程可变形为 得 例 求解 一阶微分方程 2. 可化为齐次型的方程 求解 一阶微分方程 通解 得 C = 1, 故所求特解为 为齐次型方程. (其中h和k是待定的常数) 否则为非齐次型方程. 解法 一阶微分方程 形如 的微分方程 有唯一一组解. 有唯一一组解. 得通解代回 未必有解, 上述方法不能用. 一阶微分方程 中必至少有一个为零. 可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程. ● ● 可分离变量. 一阶微分方程 未必有解, 上述方法不能用. 方程可化为 解 代入原方程得 一阶微分方程 例 是非齐次型方程. 方程组 是齐次型方程. 分离变量法得 方程变为 分离变量法得 得原方程的通解 方程变为 一阶微分方程 即 或 求解下列微分方程 一阶微分方程 例 解题提示 方程中出现 等形式的项时, 通常要做相应 的变量代换 一阶微分方程 解 求微分得 代入方程 可分离变量方程 解 分离变量法得 所求通解为 可分离变量方程 一阶微分方程 * 可分离变量的微分方程 小结 思考题 作业 一阶线性微分方程 利用变量代换求解方程 第二节 一阶微分方程 全微分方程 伯努利(Bernoulli)方程 第十三章 微分方程 如果一阶微分方程 等式的每一边仅是一个变量的函数与这个 可分离变量的方程 或 可以写成 的形式, 易于化为形式 特点 变量的微分之积. 两端积分可得通解. 一阶微分方程 一、可分离变量的微分方程 可分离变量的方程求通解的步骤是: 分离变量, 两边积分 其中C为任意常数. 就是方程的通解 分离变量法. 1. 2. 由上式确定的函数 (隐式通解). 这种解方程的方法称为 将上式 一阶微分方程 一阶微分方程 例 求方程