微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程.pptVIP

三、小结 * 第六节 二阶常系数非齐次 线性微分方程 小结 思考题 非齐次 第十三章 微分方程 方程 对应齐次方程 通解结构 难点 方法 二阶 常系数 非齐次 线性 二阶常系数非齐次线性微分方程 如何求非齐次方程特解？ 待定系数法. 设非齐方程特解为 求导代入原方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 综上讨论 注 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数). 不是根 是单根 是重根 二阶常系数非齐次线性微分方程 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 例 (1) 求对应齐次方程的通解 (2) 求非齐次方程的特解 此题 其中 ? 二阶常系数非齐次线性微分方程 代入方程, 得 原方程通解为 对应齐次方程通解 二阶常系数非齐次线性微分方程 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 (1) 求对应齐次方程的通解 此题 例 1988年考研数学一, 8分 二阶常系数线性非齐次方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 (2) 求非齐次方程的特解 解得 所以 (3) 求原方程的特解 即 特征根 原方程通解为 (求函数y的解析表达式) 且 二阶常系数非齐次线性微分方程 由题意,得 即 联立 将之代入通解得 所以, 函数y的解析表达式为 二阶常系数非齐次线性微分方程 代入方程, 得 原方程通解为 对应齐次方程通解 二阶常系数非齐次线性微分方程 是二阶常系数微分方程 满足初始条件 的特解, 函数 的极限 (A) 不存在. (B) 等于1. (C) 等于2. (D) 等于3. 2002年考研数学二, 3分 解 二阶常系数非齐次线性微分方程 1989年考研数学二, 7分 解 两端再对x求导,得 积分方程 微分方程 积分方程 即 即 这是二阶常系数非齐次线性方程. 二阶常系数非齐次线性微分方程 1989年考研数学一, 3分 提示 根椐线性微分方程的性质, 可先求方程 和 的特解, 两个解的和就是原方程的特解. 特解. 二阶常系数非齐次线性微分方程 2002年研究生考题, 计算(7分) (1) 验证函数 满足微分方程 (2) 利用(1)的结果求幂级数 解 (1) 因为 二阶常系数非齐次线性微分方程 (1) 验证函数 满足微分方程 (2) 利用(1)的结果求幂级数 解 (2) 相应的齐次微分方程为 特征方程 特征根 对应齐次方程通解为 二阶常系数非齐次线性微分方程 特征根 非齐次方程的特解为 代入方程, 得 方程通解为 二阶常系数非齐次线性微分方程 于是幂级数 二阶常系数非齐次线性微分方程 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 (1) 求对应齐次方程的通解 此题 其中 (2) 求非齐次方程的特解 1992年考研数学一, 6分 二阶常系数非齐次线性微分方程 代入方程, 原方程通解为 对应齐次方程通解 得 二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉公式 二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉公式 注 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程. 二阶常系数非齐次线性微分方程 解 例 (1) 求对应齐次方程 特征根 其通解 这是二阶常系数非齐次线性方程. 且 特征方程 的通解 二阶常系数非齐次线性微分方程 (2) 求非齐次方程 故设 代入方程,比较系数.得 这里 特征根 非齐次方程特解为 是特征根. 原方程通解为 的特解. 二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 解 例 强迫振动与共振问题 设一质量为m的电动振荡器安装在弹性梁L 的A点处, 的干扰力 (H, p均为常数, H 称为干扰幅度, p 称为干扰频率), 使得横梁发生振动. 如图所示, 取 x轴过A点, 方向铅直向下, 轴的原点. 如果不计阻力和A点处横梁的重量, 试求A点在干扰力作用下的运动规律. 如果不计阻力, 则A点在 振动时受到两个力的作用, 一个是弹性恢复力 另一个是干扰力 牛顿第二定律 振荡器开动时对横梁产生一个垂直方向 并设平衡时A点在 x 二阶常系数非齐次线性微分方程 记 上式化为 初值条件 二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题. (1) 求对应齐次方程 特征根 齐次方程的通解 特征方程 的通解 且f (t) (2) 求非齐次方程的特解 二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题. 齐次方程的通解 其中 是弹性梁的固有频率. 记 根据固有频率k与干扰频率p的关系, 情况讨论: ※ 如果 那么 特征根 不是特征根, 故可设 代入非齐次方程中,求得 下面分两种 二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题. 于是得非齐次方程的特解 从而当 方程的通解为 由初值条件 从而A点的运动规律为 可定出C1与C2, 齐次方程的通解 二阶常系数非齐