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* 微分方程 第四节 高阶线性微分方程 线性微分方程的解的结构 小结 思考题 二阶线性微分方程 线性 (higher-order linear ordinary differential equation) 第十三章 微分方程 二阶 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 微分方程 形如 一、二阶线性微分方程 线性 微分方程 高阶线性微分方程 n阶 线性 定理1 证 叠加原理 一定是通解 (1) 二、线性微分方程的解的结构 解, 1.二阶齐次方程解的结构 齐次 高阶线性微分方程 线性无关 定义 线性相关. 否则称 线性无关. 如 线性相关 恒等式成立 如果存在n个不全为零的常数, 使得当x在该区间内 那末称这n个函数在区间I内 为定义在区间I内的n个函数. 高阶线性微分方程 特别地 如 线性无关. 定理2 通解 为了求 只要求它的两个线性无关的特解. 线性无关 的特解, 那末 也是(1)的 齐次 线性方程的通解, 若在I上有 通解. 高阶线性微分方程 定理2 推论 是n 阶齐次 线性方程 的n 个线性无关的解, 那么, 此方程的通解为 其中 为任意常数. 可推广到n 阶齐次线性方程. 高阶线性微分方程 2.二阶非齐次线性方程的解的结构 定理3 的一个特解, 为了求 非齐次线性方程的一个特解 和对应齐次线性方程 只要求得: 的通解. 非齐次 (2) 非齐次 线性方程的通解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 是二阶非齐次线性微分方程(2)的 通解. 是二阶非齐次线性微分方程 高阶线性微分方程 已知 的通解. 又容易验证 是所给方程的一个特解. 是非齐次方程的通解. 如 是二阶非齐次线性方程 是对应齐次方程 高阶线性微分方程 解的叠加原理 定理4 之和, 的特解, 那么 就是原方程的特解. 定理3和定理4也可推广到n 阶非齐次线性方程. 高阶线性微分方程 求解 解 的通解是 再考虑两个方程 分别是原方程的特解. 所以原方程的通解为 例 高阶线性微分方程 线性微分方程解的结构 线性相关与线性无关的概念 三、小结 高阶线性微分方程 线性微分方程的概念 *