微分方程二阶常系数齐次微分方程.pptVIP

* 微分方程 二阶常系数齐次线性方程定义 二阶常系数齐次线性方程解法 小结 思考题 n阶常系数齐次线性方程解法 第五节 常系数齐次线性微分方程 齐次 常系数 常系数齐次 常系数齐次 常系数齐次 第十三章 微分方程 n阶 方程 二阶常系数非齐次线性方程 线性微分方程 常系数 二阶 常系数 齐次 线性 二阶常系数齐次线性微分方程 一、定义 形如 ----- 特征方程法 将其代入方程, 故有 特征根 二阶 设解 得 特征方程 二阶常系数齐次线性微分方程 常系数 齐次 线性方程 (characteristic equation) (characteristic root) 二、二阶常系数齐次线性方程解法 其中r为待定常数. ※ 两个 特解 的通解的不同形式. 二阶常系数齐次线性微分方程 有两个不相等的实根 特征根r的不同情况决定了方程 特征方程 常数 线性无关的 得齐次方程的通解为 设解 其中r为待定常数. ※有两个相等的实根 一特解为 化简得 二阶常系数齐次线性微分方程 设 取 则 知 得齐次方程的通解为 其中r为待定常数. 设解 ※有一对共轭复根 为了得到实数形式的解, 重新组合 二阶常系数齐次线性微分方程 的两个线性无关的解. 其中r为待定常数. 得齐次方程的通解为 用欧拉(Euler)公式: 设解 称为 解 特征方程 故所求通解为 例 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法 二阶常系数齐次线性微分方程 特征方程法. 特征根 解 特征方程 故所求通解为 例 二阶常系数齐次线性微分方程 特征根 例 解初值问题 解 特征方程 特征根 所以方程的通解为 二阶常系数齐次线性微分方程 (二重根) 特解 特征方程 特征方程的根 通解中的对应项 二阶常系数齐次线性微分方程 三、n阶常系数齐次线性方程解法 若是k重根r 若是k重共轭复根 注意 一个根都对应着通解中的一项, 二阶常系数齐次线性微分方程 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每 且每一项各 一个任意常数. 二阶常系数齐次线性微分方程 例 求方程 解 的通解. 特征方程 故所求通解为 特征根 即 和 特征根 故所求通解 解 特征方程 例 对应的特解 二阶常系数齐次线性微分方程 *