简谐振动简谐振动旋转矢量振动能量课件.pptVIP

尚辅网 / * 第五章 简谐振动的方程 简谐振动的旋转矢量表示 简谐振动的能量 振动力学 * 1、弹簧振子 受力 F= －kx 代入: F=ma 得： 上式可以改写成 引入 ω2=k/m m 一、简谐振动 * 单摆：长度为l 的轻绳，上端固定。下端悬挂一质量为m的物体。当物体偏离平衡位置θ角时，受到指向平衡位置的力矩： 由转动定律 M=Jβ=ml 2β 代入上式得 若单摆只做小幅度摆动，θ很小时，sinθ≈θ 整理后得： 令：ω2=g/l M= － mglsin θ * 可以认为凡是物体运动的微分方程满足上式的振动系统，都称为线性谐振子。当然不同的振子可以有不同的ω和 x 。 位移 X=Acos(ωt+φ) 综合上面的讨论，物体作简谐振动时运动的微分方程可以表示为： * 1. 位移：X 表示谐振子在任意时刻的位移。 单位： 米 m （对单摆 弧度 rad) 二、与简谐振动有关的物理量 2. 振幅： A 表示谐振子偏离平衡位置的最大值。单位 同X。 3. 园频率、角频率 ω: 由系统本身的力学性质决定的参数。 单位： 弧度/秒 rad/s * 4. 相位：ωt+φ 称为简谐振动的相位 反应振动中质点的运动状态。 通常 A与φ由系统的初始状态确定。设振子的初始位置为X0,初始速度为V0。 由： X=Acos(ωt+φ ) 得速度 ： V= －A ω sin(ωt+ φ) 初相位：φ 是 t = 0 时刻的相位（状态）。 φ 一般约定在+π～－ π之间取值 单位：弧度 rad * 令： t=0 得 X0=Acos φ、 V0= －Aωsin φ － V0 /ω= Asin φ X=Acos(ωt+φ )， V= －A ωsin(ωt+ φ) 位置： X＝ Acos(ωt+φ) 速度： V＝－ Aωsin(ωt+φ) ＝ Aωcos(ωt+φ+π/2) 加速度： a ＝－ω2X＝－ω2Acos(ωt+φ) ＝ω2Acos(ωt+φ±π) * 上述的3个式子可以作为简谐振动的判据。 对于圆频率相同的两个简谐振动 X1=A1cos(ωt+φ1) X2=A2cos(ωt+φ2) 当φ1 φ2称φ1的位相比φ2的位相超前。 φ1 φ2称φ1的位相比φ2的位相滞后。 φ1 －φ2 = ±2kπ 称φ1与φ2的位相相同。 φ1－φ2= ±（2k+1) π称φ1与φ2的反相。 * 三、振动曲线 位置： X=Acos(ωt+φ ) 速度： V= －A ωsin(ωt+ φ)= A ωcos(ωt+ φ+π/2) 加速度： a= － ω2Acos(ωt+φ)= ω2Acos(ωt+φ+ π) 先看φ=0 的情况 * 易见：t 每增加一个 T=2π/ω 振动状态重复一次。把 T称为简谐振动的周期。 周期： 单位时间的振动次数称为频率，定义为： 频率： 单位： 秒 S 单位： 赫兹 Hz * 目的将物理量用几何模型来描述，更加直观。 设想：矢量 A 以角速度 ? 逆时针绕O作匀速圆周运动，研究端点 M 在 x 轴上投影点的运动 四、旋转矢量表示法： * 1. M 点在 x 轴上投影 为简谐振动。 2. M 点的运动速度 V=Aω 在x轴的投影为： 初位相φ可以看作初始角位置。 易见在上半圆 v0, 下半圆v0。 * 3. M 点的加速度 在x轴上投影加速度 M点在x轴投影，为谐振动的运动方程。 M点速度在x轴投影，为谐振动的速度。 M点加速度在x轴投影，为谐振动的加速度。 结论： * 物理模型与数学模型比较 A 谐振动 旋转矢量 ? ?t+? ? T 振幅 初相 位相 圆频率 谐振动周期 模 初始角位置 角位置 角速度 园周运动周期 其中的 A、 ? 、? 称为简谐振动三要素。 * 用旋转矢量表示弹簧、单摆运动初相 1.初始条件 由图易见x=A只有一个点。 振动方程为 x=Acosωt 或由 * 2.初始条件 取 左边的点符合条件 或者由下式 * 3.初始条件 或由下式求得： * 4.初始条件 取 * 例1、一弹簧振子在X轴方向上做简谐运动，振0.12m，周期为2S，t=0时位于0.06m处，