弹性力学chapter7.pptVIP

* ? 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 空间问题的基本理论 1 第七章 空间问题的基本理论 §7.1 平衡微分方程 §7.2 物体内任一点的应力状态 §7.3 主应力 最大与最小应力 §7.4 几何方程及物理方程 §7.5 轴对称问题的基本方程 1. 弹性力学的各种问题, 都具有相似性, 其未知函数, 基本方程和边界条件, 以及求解的方法都是类似的。 我们可以把空间问题看成是平面问题的推广。 2. 直角坐标系中一般的空间问题, 包含15个未知函数, 6个应力分量(?x, ?y, ?z, ?xy, ?yz, ?zx), 6个应变分量(?x, ?y, ?z, ?xy, ?yz, ?zx)及3个位移分量, 且它们均为三个坐标变量(x,y,z)的函数。区域内基本方程也是15个，即3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程。 在边界上的应力边界条件或位移边界条件均为3个。这些方程和边界条件当然可以根据有关条件导出，但也可以从平面问题推广而来。 概述 3. 在柱坐标系(?,?,z)中的空间轴对称问题, 也可以看成是平面轴对称问题的推广。空间轴对称问题包含10个未知函数, 4个应力分量(??, ??, ?z, ??? ), 4个应变分量(??, ??, ?z, ??? )及2个位移分量(u? , u?), 它们都是(?,?)的函数。 在空间轴对称问题中，区域内共有10个基本方程，2个平衡微分方程，4个几何方程及4个物理方程，在边界上各有2个应力边界条件，或位移边界条件。 现在考虑区域内静力学方面条件，建立空间问题的平衡微分方程。 §7.1 平衡微分方程 在区域v内取出一个微小正六面体，六面垂直于坐标轴， A B C P y x z O PA=dx, PB=dy, PC=dz 应力分量一般为位置坐标的函数，因此，作用在六面体两对面上的应力分量不完全相同。 ?xy ?xz ?x ?y ?yz ?yx ?zy ?z ?zx 微分体体积内的体力可认为是均匀分布的。 A C P y x z O ?y ?yz ?yx ?zy ?z ?zx ?xy ?xz ?x a b A C P y x z O ?y ?yz ?yx ?zy ?z ?zx ?xy ?xz ?x a b 后三式导出三个互等定理， 列出 ?Mab=0 除以dxdydz, 整理得 略去微量，得 同理，得 列出 ?Fx=0 前三式导出平衡方程， 除以dxdydz,略去微量，整理得 同理，得 A C P y x z O ?y ?yz ?yx ?zy ?z ?zx ?xy ?xz ?x a b 于是，得到空间问题的平衡方程 上述平衡微分方程也可直接从平面的平衡微分方程推广得到。 A C P y x z O ?y ?yz ?yx ?zy ?z ?zx ?xy ?xz ?x a b §7.2 物体内任一点的应力状态 y z x P A B C ?y ?yz ?yx ?xy ?xz ?x ?zy ?z ?zx px pz py 前一节所述应力?x, ?y, ?z, ?xy, ?yz, ?zx表示坐标面应力，我们还需要求出任一斜截面的应力分量。 在弹性体区域内取一包含三个坐标面的四面体PABC。 斜截面的应力分量有两种表达方式： p=(px py pz), p=(?n ?n). 一. 斜截面应力与坐标面应力之间的关系式 当四面体PABC无限减小而趋于P点时，平面ABC上的应力就是该斜截面上的应力 （用px, py, pz表示）。 设SABC=dS，则 y z x P A B C ?y ?yz ?yx ?xy ?xz ?x ?zy ?z ?zx px pz py 四面体PABC的体积用 dV 代表。 SBPA =ldS ，SCPA =mdS ，SAPB =ndS 斜截面ABC上的全应力p在坐标轴上的投影用px, py, pz代表。 除以dS, 并移项，得 令平面ABC的外法线为n?，其方向余弦为 cos(n?, x) = l, cos(n?, y) = m, cos(n?, z) = n. 由四面体的平衡条件 ?Fx = 0, 得 1.用?x, ?y, ?z, ?xy, ?yz, ?zx表示px, py, pz y z x P A B C ?y ?yz ?yx ?xy ?xz ?x ?zy ?z ?zx px pz py 当四面体无限减小而趋于P点时，由于dV是比dS更高一阶的微量, 于是，得 同理，由 ?Fy = 0, ?Fz = 0, 得 设斜截面ABC上的正应力为?n, 则 2.用?x, ?y, ?z, ?xy, ?yz, ?zx表示?n, ?n 所以