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2012年全国高中数学联赛辽宁省预赛一．选择题（每小题6分，共36分）用1，2，3三个数字组成四位数，要求三个数字都要出现，且相同的数字不相邻，这样的四位数共有（）个．（A）（B）（C）（D）设，其中，则所有的交集为（）．（A）（B）（C）（D）是定义在上的函数，对任意，有．记，，则（）．（A）（B）（C）（D）设双曲线（）的右焦点为F，过F做x轴垂直的直线与两条渐近线交于A、B两点，P是与双曲线的一个交点，设O为坐标原点，若实数m、n，使得，且，则该双曲线的离心率为（）．（A）（B）（C）（D）在△ABC中，设，，．则等式成立的充分必要条件是（）．（A）（B）（C）（D）设，则当，且使得二次方程的一个根大于1，一个根小于1的概率是（）．（A）（B）（C）（D）二．填空题（每小题8分，共48分）设，则S在复平面内所对应区域的面积是_______．_______．设函数，，．则_______．不等式的解集为_______．已知点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值是_______．四面体ABCD中，已知，，．若过D与平面ABC相切并且与该四面体的外接球面相内切的球面半径为1，则四面体ABCD外接球面的半径为_______．三．解答题（每小题8分，共48分）设实数满足，，证明：．已知中心在原点O、焦点在x轴上、离心率为的椭圆过点．设不过原点O的直线与该椭圆交于点，且直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．如图，已知PA、PB是由圆O外一点P引出的两条切线，M、N分别是线段AP、AB的中点，直线MN与圆O交于点C、E，点N在M与C之间，PC与圆O交于点D，延长ND与PB交于点Q，证明：四边形MNQP为菱形．设递增数列满足，，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：．答案：一．选择题（本题满分30分，每小题5分）1．(B)．2．(C)．3．(C)．4．(A)．5．(D)．6．(A)．二．填空题（本题满分30分，每小题5分）7．．8．．9．．10．．11．．12．．三．解答题13．（本小题满分20分）证明：假设，则．由得即，……………………(5分)由于单调递减，，且，故．…………………………(10分)由得，即．…………………………(15分)由于单调递减，，故．因此，，与矛盾，所以，．……………………(20分)14．（本小题满分20分）解：由题意可设椭圆方程为，由得，所以，椭圆方程为．……………………(5分)由题意可知，直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为，满足，消去得．，且，．．……………(10分)因为直线，，的斜率依次成等比数列，所以，，即，又，所以，即．……………………(15分)由于直线的斜率存在，且，得且．设为点到直线的距离，则，所以的取值范围为．……………………(20分)15．（本小题满分25分）证明：连结，显然三点共线，且，所以是中点，由是的中点，故，．　　　　　　　……………………(5分)，所以　∽，．……………………(10分)又四点共圆，，故四点共圆，．……………………(15分)是直角三角形，有，于是四点共圆．……………………(20分)，所以，四边形是菱形．　　　　　　　　……………………(25分)16．（本小题满分25分）（1）解法一：由得，由，猜想．……………………(5分)证明：当时，显然成立；设当时，成立，当时，＝成立，所以，通项公式为．……………………(10分)解法二：由得，故（），两式相减得，又为递增数列，故．……………………(5分)特征方程为，特征根为，所以，将代入，得，解之得，通项公式为．……………………(10分)（2）设，由得，，……………………(15分)．所以．……………………(25分)