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第一章 矢量分析 本章内容 1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流与旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理 1.1 矢量代数 1. 标量和矢量 标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 矢量的代数表示： 矢量的大小或模： 矢量的单位矢量： 常矢量：大小和方向均不变的矢量 矢量用坐标分量表示 2. 矢量的代数运算 （1）矢量的加减法 在直角坐标系中两矢量的加法和减法： 矢量的加减符合交换律和结合律 交换律 结合律 （2）标量乘矢量 （3）矢量的标积（点积） ——矢量的标积符合交换律 ———》 ———》 （4）矢量的矢积（叉积） 用坐标分量表示为 写成行列式形式为 若 ，则 若 ，则 （5）矢量的混合运算 —— 分配律 —— 分配律 —— 标量三重积 —— 矢量三重积 （6）矢量的其他运算 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 1. 直角坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量 体积元 2. 圆柱坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量 体积元 3. 球坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量 体积元 1.3 标量场的梯度 1.标量场的等值面 等值面: 标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。 意义: 形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。 等值面的特点： 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族； 标量场的等值面充满场所在的整个空间； 标量场的等值面互不相交。 2. 方向导数 标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。 式中：—— 的方向余弦。 意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。 —— u(M)沿 方向增加； —— u(M)沿 方向减小； —— u(M)沿 方向无变化。 特点：方向导数既与点M0有关，也与方向有关。 3. 标量场的梯度 梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量。 在直角坐标系中，标量场 ( 的梯度可表示为 式中grad 是英文字母 gradient 的缩写。 若引入算符(，它在直角坐标系中可表示为 则梯度可表示为 梯度的表达式： 直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系 梯度的性质： 标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面） 1.4 矢量场的通量与散度 1. 矢量线 概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。 意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。 矢量线方程： 2. 矢量场的通量 通量的概念：矢量 A 沿某一有向曲面S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲 面 S 的通量，以标量 ( 表示，即 其中： ——面积元矢量； ——面积元的法向单位矢量； ——穿过面积元的通量。 如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是 通量的物理意义： 通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。因此，当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源。 3. 矢量场的散度 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任