7.6-7.7泰勒公式与泰勒级数及某些初等函数的幂级数展开式.pptVIP

* 一、泰勒级数 上节讨论了求幂级数的和函数，本节讨论相反的问题： 给出一个函数 是否能找到这样一个幂级数，它 在某区间内收敛，且其和恰好为 如果能找到这 样的幂级数，我们就说，函数 在该区间内能展 开成幂级数。 的n阶泰勒公式 项数趋向于无穷而成为幂级数 泰勒级数 证明 必要性 充分性 级数（3）称为函数 的麦克劳林级数。 区间内可以逐项求导，有 内能展开成的幂级数，即 这就是所要证明的。 二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: 例1 解 由于M的任意性, 即得 例2 解 例3 解 两边积分 得 即 牛顿二项式展开式 注意: 双阶乘 2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 例如 解 因为 并且有（见例2，例3） 所以 *