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08§1-7傅里叶变换对
3.提示: * * 第一章 数学基础 § 1.7 常用函数的 傅里叶变换 一、? 函数的傅里叶变换: 由卷积定理知: 等号两边作 傅里叶变换: 即: (1-55) (1-56) 一个 光脉冲 的傅氏变换 是一束 空间频率为 0 的 单位振幅平面波 反之亦然 设: , 第一章 数学基础 § 1.7 常用函数的傅里叶变换 物理意义 F.T. F.T. F.T. 由位移定理: 一束 空间频率为 u 的 单位振幅平面波 第一章 数学基础 § 1.7 常用函数的傅里叶变换 物理意义 一个位于 x0 点的 光脉冲 F.T. 普遍型 经傅氏变换 二、梳状函数的傅里叶变换 第一章 数学基础 § 1.7 常用函数的傅里叶变换 普遍型 二维情况 结论 comb 函数的 傅里叶变换 仍是 comb 函数 证明请查阅有关参考书 三、矩形函数的傅里叶变换 第一章 数学基础 § 1.7 常用函数的傅里叶变换 根据定义 1/2 -1/2 结论: rect(x) sinc(u) F.T. ? 普遍型 第一章 数学基础 § 1.7 常用函数的傅里叶变换 证明:根据相似性定理 第一章 数学基础 § 1.7 常用函数的傅里叶变换 四、高斯函数的傅里叶变换 Gaus(x) = exp[- px2] F [Gaus(x) ]= F { exp[- px2]} ? = exp[- pu2] = Gaus(u) 结论: Gaus(x) Gaus(u) F.T. 推导一维情况 第一章 数学基础 § 1.7 常用函数的傅里叶变换 五、余弦函数的傅里叶变换 F [cos(2pu0x) ] 其中 u0 = 1 / T T 为周期 ? 1/2 -u0 u0 0 u F (u) 结论:余弦函数的傅里叶变换是 ? 函数组合 六、三角形函数的傅里叶变换 第一章 数学基础 § 1.7 常用函数的傅里叶变换 推导 一 维 情 况 ? 结论: 三角形函数的傅里叶变换是 sinc 函数的平方 已知 七、符号函数的傅里叶变换 第一章 数学基础 § 1.7 常用函数的傅里叶变换 请自行证明 留待推算 二维 八、 函数的傅里叶变换 七、圆域函数的傅里叶变换 第一章 数学基础 § 1.7 常用函数的傅里叶变换 一阶第一类贝塞尔函数 普遍型: 请自行证明 半径 七、step函数的傅里叶变换 第一章 数学基础 § 1.7 常用函数的傅里叶变换 请自行证明 提示: 利用关系式 以及傅里叶变换的定理进行推导 2、求下列函数的傅里叶变换,并作简图: 1) 2) 3) 4) 综 合 练 习 题 1、用至少两种方法证明 F.T. 1 ?3、写出下列光阑的透过率函数表达式,并求出 它的傅里叶变换(要求作图): 1)缝宽为 a 的双狭缝,中心分别在 x = + d / 2 处, (d ? a); 2)有一块多狭缝板,其有效宽度为B ,缝宽为a, 缝间隔为d; 提示:用矩形函数和梳状函数表达 3)有一余弦光栅,周期为d,有效宽度为B。 接前页 1、用至少两种方法证明 1) 左边 1 -1 1 0 x 2 3 -2 -3 2)两边作傅里叶变换: 左边 1 -1 1 0 u 2 3 -2 -3 a 1 =右边 1 -1 1 0 x 2 3 -2 -3 1) 2、求函数的傅里叶变换并作简图: 2) F [cos(2pu0x)] 1/2 -u0 u0 0 u F (u) F Thanks Bye
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