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第八讲 三角变换与求值 ● 知点 考点 答点 （1）定义——为三角变换寻根 数学以定义为根，沿逻辑体系而发展. 不管后来的问题如何复杂，从根本上讲，最后可以追根溯源，回到定义上把问题解决. 三角函数的定义全用定义式提供，这为三角式变换（及三角求值）提供了很大的方便. 【例1】如的终边过求之值. 【解析】这里. 当时，为二象限的角， . 当时，为四象限的角， . 【说明】参变量可正可负，不要误以为仅是第二象限的角. （2）同角关系——为三角变换立据 同一个角定义了6个不同的函数，显然它们之间存在着互推的关系，推导这个关系的工具就是三角函数的定义. 为了运算或化简三角变换的方向，往往是化异名的三角函数为同名的三角函数.为化异名函数为同名函数常须借助同角关系. 【例2】如，则的值是 （ ） 【分析】在6个三角函数中，我们最熟悉的是正、余弦，最不熟悉的是正、余割.根据三角公式化不熟悉的为熟悉的，是解这类三角题的基本方向. 【解析】由， ，故选B. 【例3】若则= 1 【分析】由正切的条件去求含正、余弦的代数式之值，应该利用同角三角函数的商数关系和平方关系. 【解析1】由于 【解析2】由，直接代入得： . （3）诱导公式——为三角变换说法 三角函数中的角的取值范围，可以是任意实数，但在计算求值上最终要化到锐角上解决问题.这种转换工具就是诱导公式.其经典方法就是“符号看象限，奇变偶不变.” 【例4】求之值. 【分析】函数异名角度异角，且没有一个角的特殊值.解题期待①用诱导公式画任意角到锐角范围之中；②通过和差公式或和积互化公式进行运算化简；③希望能出现特殊角，不是特殊角的函数能够互相消项或约分. 【解答】原式 =(tan9°cot9°)-(tan27°+cot27°) = = = = = 【评注】本题的难度较大.所给条件中没有一个特殊角，可是运算的最后结果却是一个干净利落的整数.成功的秘诀在哪里？ ①利用诱导公式对所给角度正确分组； ②利用商数关系及平方关系进行第1次化简； ③利用和、差角公式（或和、积互化公式）进行第2次化简； ④约去相同的三角函数式，得出最终结果. 通法 特法 妙法 （1）单位圆——三角函数线的摇篮 三角函数定义在单位圆中，并同时产生了三角函数的数形结合，即三角函数与三角函数线对应. 既然三角函数线与三角函数定义等效，因此许多三角函数问题在解法寻根的过程中，也可找到单位圆. 【例5】若，证明：. 【证明】在如右图的单位圆中，当时， 点在第一象限，中， . . 当且仅当x=y，即△AOM为等腰直角三角形时等式成立. ∴ (2)消去法——在三角转换中找到广阔天地 ①化繁为简，是一切数学转换的基本方向. 而这种转换的核心思想就是消去思想，对应的方法就是消去法. ②在三角变换中变换的对象丰富多彩，有异名的函数名称，有异角的和差倍分关系，有不同的和积运算的三角复合关系式，这种多彩为其他初等函数所为之不及. ③消去是转换法的一种具体形式，通俗说来就是把转换对象中没有用的对象或无法进行处理的对象让它消失. 这种对象消失完了，我们的问题就解决了. ④消去必然伴随着新生，由我们制作的新生东西一定是我们期待的或者能够解决的对象 【例6】化简： 【分析】这里sin10°和cos10°我们无法求值. 要想将其化简，我们将其消去. 【解法1】利用二倍角的三角公式. 【解法2】利用和、积互化公式. 【评注】两种解法不同，但思想方法一致，都是通过约分达到消去的目的.约分，是消去法的重要体现之一. 问题的化简最后是通过约分完成的. 【例7】若则的值等于（ ） 【分析】题设条件是三角函数的特殊值，故应该从角度入手进行消去. 【解析】时，. . 而，且 （1）-（2）：或0（舍去）. 于是，选B. 【评注】发现特殊值，想到特殊角.本解法比利用和差角公式求值简便得多.充分利用特殊角，是消去法的另一重要体现 (3)万能代换——消去法中的黑马 【例8】设求之值. 【解析】由万能公式得： 【评注】本题若不用万能代换，可设.则.以下再将用x表示，麻烦得很. （4）和、积代换——消去法在三角中全面沟通 【例9】若x为锐角，求的最小值. 【解析】令， 则， 且. 于是 由于，故当 【注意】本解所用的方法，叫做三角函数式的和、积代换，它能将三角问题转化为代数问题，从而用代数的思想，也就是函数方程思想去解决三角问题.这是三角恒等变换中的一种高级技巧. （5）对偶法则——消去法体现出数学美 【例10】求之值 【解析】设A= B= 于是有： . 即. 【注意】解本题所用的方法，称为三角函数变换的对偶法则，在三角函数式的求值中，也是一种高级技巧. （6）数形结合——岂止在单位圆和函数图象之中 【例11】（0